Estoy buscando la plena prueba de algunos clásicos teorema declarado en 1 de mis libros de texto con sólo un esbozo de la prueba.
Para Baire clase 1 funciones - pointwise límite de funciones continuas: ¿Cómo demostrar que 1) son medibles y 2) que puede ser discontinua, pero el conjunto de puntos discontinuos es "pequeño". En particular, una función f es el límite de funciones continuas si y sólo si es pointwise discontinuo (el conjunto de puntos discontinuos es de primera categoría / contables de la unión de la nada densos conjuntos).
Croquis de Lebesgue de la prueba (1904) - desde "Un Enfoque Radical para Lebesgue de la Teoría de la Integración" por David Bressoud:
Sea f el límite de funciones continuas, $f_n \rightarrow f$,$[a, b]$. Deje $P_k$ denota el conjunto de puntos en el que la oscilación de la $f$ es mayor que o igual a $1/k$. Si podemos mostrar que cada una de las $P_k$ es nada densa, a continuación, $f$ es pointwise discontinuo. Tomamos cualquier intervalo abierto $(\alpha, \beta) \subset [a, b]$ y partición de la totalidad de la $y$-eje de $-\infty$ $\infty$mediante el uso de puntos de $\dots < m_1 < m_0 < m_1 <m_2 <\dots$ for which $m_{i+1} - m_i < 1/2k$. Consideremos el conjunto
$E_i = \{x \in (\alpha, \beta) | m_i < f(x) < m_{i+2}\}$
Tenemos que
$(\alpha, \beta)= \bigcup_{i=-\infty}^{\infty}E_i$ $x_1, x_2 \in E_ i \Rightarrow |f(x_1) - f(x_2)| < m_{i+2} - m_i < \frac{1}{k}$
La oscilación de la $f$ $E_i$ es de menos de $1/k$.
Lebesgue comienza usando el hecho de que $f$ es el límite de funciones continuas para demostrar que cada una de las $E_i$ es una contables de la unión de conjuntos cerrados (esto conducirá a $f$ ser medibles). De hecho, él hace más que esto. La prueba de que $f$ es un límite de funciones continuas si y sólo si, para cada una de las $k \in \mathbb{N}$, el dominio puede ser representado como una contables de la unión de conjuntos cerrados de modo que la oscilación de la $f$ en cada conjunto es estrictamente menor que $1/k$.
Lo siguiente que demuestra que, dado cualquier conjunto de $E$ que es un contable de la unión de conjuntos cerrados, se puede construir una función para la cual los puntos de discontinuidad son precisamente los puntos de $E$. Deje $\phi_i$ ser una función en $(\alpha, \beta)$ para que los puntos de discontinuidad son precisamente los puntos en $E_i$. Podría de todas las funciones $\phi_i$, $-\infty < i < \infty$, ser pointwise discontinuo? Si así fuera, entonces habría un punto en $(\alpha, \beta)$, se $c$, donde todos ellos son continuos. Pero $f(c) \in E_j$ algunos $j$, y eso significa que $j$ no es continua en a $c$, una contradicción. Al menos uno de los $\phi_i$ debe ser totalmente discontinuo.
Si $\phi_j$ es totalmente discontinuo en $(\alpha, \beta)$, entonces existe un abierto subinterval de $(\alpha, \beta)$ que $j$ es discontinua en todos los puntos de este subinterval. Por la forma en que hemos definido la $j$, la $E_j$ contiene un abierto subinterval de $(\alpha, \beta)$. A partir de la definición de $E_j$, la oscilación es menor que $1/k$ en cada punto de este subinterval. Hemos demostrado que $P_k$ es denso en ninguna parte, y, por lo tanto, $f$ es pointwise discontinuo.
En la otra dirección, si $f$ no es el límite de funciones continuas, entonces hay algunas $k$ para que el dominio no puede ser expresado como una contables de la unión de conjuntos cerrados con oscilación estrictamente menor que $1/k$ en cada conjunto. Lebesgue utiliza este para encontrar un intervalo abierto contenido en a $P_k$. La función de $f$ debe ser totalmente discontinuo.
