Declaración precisa de Mermin–Wagner teorema de

Question

A grandes rasgos, Mermin-Wagner teorema establece que continua simetrías no puede ser roto espontáneamente a temperatura finita en sistemas con suficientemente corto alcance de las interacciones en las dimensiones de $d\leq 2$.

¿Cuál es la definición exacta de este teorema? En particular:

1. ¿Cuáles son los tipos de sistemas, el teorema se aplica a?
2. Cómo corto alcance debe a las interacciones?
3. Hacer las interacciones tienen que cumplir otras condiciones, tales como ser isotrópica?

Answer 1

Voy a enunciar una versión del teorema, válido para los sistemas clásicos. No voy a dar la mayor parte del marco general, como las cosas se vuelven desordenado, pero esto aún debe dar una idea de cómo es en general el resultado es.

Necesitamos los siguientes ingredientes:

• Tiradas: para cada vértice de la celosía $\mathbb{Z}^2$, damos una vuelta $\phi_x$ tomando valores en algunos topológicos compactos espacio de $S$.
• Grupo de simetría: un pacto, conectado Mentira grupo $G$ actuando en $S$.
• Interacción: un seccionalmente continua en función de $U:S\times S\to\mathbb{R}$, invariantes bajo la acción de $G$: $U(g\phi_x,g\phi_y) = U(\phi_x,\phi_y)$, para cada una de las $g\in G$.
• Constantes de acoplamiento: una colección de $(J_x)_{x\in\mathbb{Z}^d}$ de los números reales no negativos, de tal manera que $\sum_{x\neq 0} J_x<\infty$.

Podemos entonces considerar el formal de Hamilton $$ H(\phi) = \sum_{x\neq y\in\mathbb{Z}^2} J_{y-x} U(\phi_x,\phi_y). $$

No hay pérdida de generalidad en suponer que la $\sum_{x\neq 0} J_x = 1$ (ya que uno siempre puede cambiar la escala de $U$). Con esta normalización, se puede considerar que la caminata aleatoria $X$ $\mathbb{Z}^2$ con las probabilidades de transición de$x$$y$$J_{y-x}$.

La declaración, a continuación, toma la forma siguiente: en Virtud de los supuestos anteriores, el todo infinito-volumen de Gibbs las medidas asociadas a la formal Hamiltonianos $H$ son invariantes bajo la acción de $G$, siempre que el paseo aleatorio $X$ es recurrente.

Como un ejemplo, considere el caso de la $O(N)$ modelo. En ese caso, $S=\mathbb{S}^{N-1}$ $(N-1)$- esfera, $G=O(N)$ es el grupo de rotaciones de $\mathbb{S}^{N-1}$, $U(\phi_x,\phi_y) = -\phi_x \cdot \phi_y$ es menos el producto escalar de los dos vectores unitarios. El resultado anterior muestra que todos infinito-volumen de Gibbs las medidas asociadas a la $O(N)$-modelo rotación invariante (lo que implica, en particular, que no puede ser magnetización espontánea) tan pronto como el paseo aleatorio $X$ es recurrente. Curiosamente, es conocido, en ese caso, que no hay magnetización espontánea (y, por lo tanto, la ruptura espontánea de la simetría de rotación) a bajas temperaturas, tan pronto como el paseo aleatorio $X$ es transitorio. Si prefiere algo más criterio explícito, restringir su atención sobre el caso de $J_x \propto |x|^{-\alpha}$. Luego de la discusión anterior implica que existe una ruptura espontánea de simetría en las bajas temperaturas de la $O(N)$-modelo si y sólo si $\alpha<4$.

[MODIFICAR:] he Aquí un (muy incompleta) lista de las referencias de algunos de los puntos mencionados anteriormente.

Versión del teorema dada anteriormente:

2D Modelos de la Física Estadística Continua de Simetría: El Caso Singular de las Interacciones, D. Ioffe, S. Shlosman y Y. Velenik, Commun. De matemáticas. Phys. 226, 433-454 (2002). arXiv:matemáticas/0110127

(El resultado es en realidad un poco más general que el que se menciona anteriormente.)

La prueba de grafos (bajo el supuesto de que los asociados de paseo aleatorio es recurrente y por dos veces continuamente diferenciable interacción $U$):

Recurrente el paseo aleatorio y la ausencia de la ruptura de simetría continua en los gráficos, F. Merkl y H. Wagner, J. Estatista. Phys. 75 (1994), no. 1-2, 153-165.

(De nuevo, sus resultados son sustancialmente más general que: el tratamiento no necesariamente ferromagnéticos acoplamientos, los sistemas cuánticos, etc.)

La prueba de que $O(N)$ modelos en $\mathbb{Z}^d$ pantalla de magnetización espontánea a bajas temperaturas tan pronto como el paseo aleatorio es transitorio:

El Mermin-Wagner fenómeno del clúster y de las propiedades de uno y de dos dimensiones de los sistemas, C. A. Bonato, J. F. Pérez, A. Klein, J. Estatista. Phys. 29 (1982), no. 2, 159-175.

También puede comprobar el Teorema (20.15 horas) en

Gibbs medidas y las transiciones de fase, H.-O. Georgii, de Gruyter Estudios en Matemáticas, 9. Walter de Gruyter & Co., Berlín, 1988.

Por supuesto, hay muchas otras referencias relevantes. Por favor revise la bibliografía dada en estas referencias.

Answer 2

Una breve respuesta a las preguntas 2 y 3:

2. En Mermin-Wagner papel el de corto alcance condición se expresa como $\sum_{\bf R} {\bf R}^2 |J_{\bf R}|<+\infty$. Para la interacción con (o, más precisamente majorized por: a) ley de energía de desintegración $|J_{\bf R}| \sim R^{-\alpha}$, esto requiere de $\alpha > D+2$ donde $D$ es el espacio de dimensionalidad (es decir, $\alpha >4$ $D=2$ o $\alpha >3$$D=1$). Este corto alcance condición puede ser menos estrictas (y por lo tanto Mermin-Wagner teorema más general): ver PRL 87, 137303 (2001) o PRL 107, 107201 (2011) para más detalles.

3. Interacciones no necesita ser isotrópico, es decir, Heisenberg, pero el estado debe ser invariante bajo un grupo continuo de simetría y poseen una masa Goldone modo, por lo que el spin-espectro de la onda de ser sin pausas. Así Mermin-Wagner teorema se cumple para la Heisenberg y XY modelos, pero no para el modelo de Ising.