Usuario Eric Gregor y yo estaba hablando en el chat y él mencionó este tema y postuló la posibilidad de un acercamiento a través de polinomios simétricos. Después de pensarlo un poco, llegué a esto:
Hipótesis . Para cualquier $n$ el polinomio simétrico elemental $e_n\in k[x_1,\cdots,x_n]$ puede expresarse como un $k$ -combinación lineal de $n$ los poderes de los polinomios homogéneos de grado uno. $^\dagger$
$^\dagger$ Asumimos que la característica no divide $n!$ . Podríamos asumir que es cero para mayor simplicidad.
Demostrémoslo $s(a,b,\cdots,c)=(a+b+\cdots+c)^n-(a^n+b^n+\cdots+c^n).$ Tengo dos ejemplos:
$$xy=\frac{s(x,y)}{2} \tag{$ n=2 $}$$
$$xyz=\frac{s(x,y,z)-\big(s(x,y)+s(y,z)+s(z,x)\big)}{6} \tag{$ n=3 $}$$
Mi trabajo de rascado se estaba volviendo tedioso, así que no terminé el $n=4$ caso. Además de esto, no he hecho ningún avance sustantivo, pero he obtenido la siguiente igualdad. Denotamos $\mathrm{pt}\,\lambda$ el número de partes de una partición entera $\lambda\vdash n$ y $m_\lambda$ la suma de todos los monomios de forma $\lambda$ en $x_j,j\in J$ .
$$T_{J,\ell}:=\sum_{\large I\subseteq J \atop \large |I|=\ell}\left(\sum_{i\in I}x_i\right)^n=\sum_{\large \lambda\vdash n \atop \large \mathrm{pt}\lambda\le\ell}\binom{n}{\lambda}\binom{|J|-|I|}{\ell-\mathrm{pt}\,\lambda}m_\lambda.$$
Esto puede justificarse de la siguiente manera: la expansión de los sumandos internos de la LHS con el teorema multinomial dará lugar a los términos $m_\lambda$ (con los coeficientes multinomiales apropiados), multiplicado por el número de superconjuntos $I$ ( $\subseteq J$ ) de la cardinalidad $\ell$ que contiene un subconjunto particular $K$ de la cardinalidad $\mathrm{pt}\,\lambda$ ; construye tal $I$ eligiendo $|K/I|$ elementos fuera de $|J/I|$ disponible. En nuestro contexto $J=[n]$ por supuesto.
La razón por la que menciono esto es que el $T_{[n],\ell}$ parecen ser relevantes en los cálculos que estaba realizando para $n=2,3,4$ (como si se invirtiera un sistema lineal en el $m_\lambda$ 's...). Puede o no ser la forma correcta de pensar sobre el problema. Supongo que mi pregunta es entonces:
- ¿Es la hipótesis correcta?
- Si es así, ¿cómo lo probaremos?
- ( Opcional ) Si esto no está ya inherentemente respondido en la prueba hipotética, ¿cómo calcularíamos explícitamente cuáles son las combinaciones de poderes?