$a_{n+f(n)}-a_{n}\rightarrow0$ implica la convergencia?

Question

$(a_{n})$ es una secuencia de reales. Decir $a_{n+f(n)}-a_{n}$ tiende a 0 a medida que n tiende a infinito para cada función f a partir de los enteros positivos para los enteros positivos. ¿Esto implica que $a_{n}$ es convergente?

Answer 1

Yo creo que sí. Primero de todo, la secuencia de $a_n$ es necesariamente delimitada por encima y por debajo. Por ejemplo, supongamos que no estaban delimitadas desde arriba. A continuación, puede seleccionar $f$ de manera tal que la secuencia de $a_{n+f(n)}$ diverge a $+\infty$ de tal manera como para aplastar a $a_n$. Por supuesto, esto contradice la hipótesis.

Ahora, en cuanto a la convergencia, podemos seleccionar una larga $a_{n+f(n)}$ que converge a $L=\mathrm{lim~sup}~~a_n$, y por lo tanto, el uso de la hipótesis, tenemos que $a_n$ es convergente.

Answer 2

Sí :

Pick $f(n)$ tal que $|a_{n+f(n)} - a_n| \ge \sup_{m \ge n} |a_m -a_n| - \frac 1 n$. Si $a_{n+f(n)} - a_n$ tiende a $0$, entonces la secuencia es una secuencia de Cauchy :

Si $\varepsilon > 0$, pick $n$ tal que $ \varepsilon n \ge 1$$\forall m \ge n, |a_{m+f(m)} - a_m| \le \varepsilon$. A continuación, $\forall p \ge m \ge n, |a_p - a_m| \le \sup_{p \ge m} |a_p - a_m| \le \frac 1 m + |a_{m+f(m)} - a_m| \le \frac 1 n + \varepsilon \le 2\varepsilon$.

Answer 3

Deje $(n_k)_k$ será cada vez más una secuencia de números enteros, y deje $f(k):=n_k-k>0$. A continuación,$a_{n_k}-a_k\to 0$. En particular, esto demuestra que cualquiera de los dos subsecuencias de $(a_j,j\in\Bbb N)$ tienen el mismo límite.

Ahora nos demuestra que $a=(a_j,j\in\Bbb N)$ está acotada. Deje $(m_k)_k$ ser estrictamente creciente secuencia de números enteros, y asumir que $a$ es no acotada. A continuación, podemos encontrar $n_k\uparrow \infty$ tal que $|a_{n_k}|\geqslant m_k+1$ todos los $k$, por lo tanto para $k$ lo suficientemente grande, $|a_k|\geqslant m_k$. Esto da así que $$\forall (m_k,k\geqslant 1), m_k\uparrow \infty, \quad \liminf_{k\to +\infty}\frac{|a_k|}{m_k}\geqslant 1.$$ Esto no es posible, teniendo en $m_k:=k+2\max_{1\leqslant j\leqslant n}\lfloor |a_j|\rfloor$.

Answer 4

Supongamos $(a_n)$ no es convergente. A continuación, $(a_n)$ no es de Cauchy. Así, hay un $\epsilon>0$ tal que para cada entero positivo $k$, existen enteros $n_k$ $m_k$ satisfacción $m_k>n_k>k$$|a_{n_k}-a_{m_k}|>\epsilon$. Uno puede elegir de éstos para que el $n_k$ son distintos.

Ahora, definir $f$, de modo que para cada $k$, $f(n_k)= m_k-n_k$ (dar valores arbitrarios a la otra enteros). A continuación, $|a_n-a_{n+f(n)}|$ no converge a cero.