¿Cómo funcionan las Propiedades de las Relaciones?

Question

Esto simplemente no hace clic para mí. Actualmente estoy aprendiendo matemáticas durante las vacaciones de verano y estoy en el capítulo de relaciones y funciones.

Hay cinco propiedades para una relación:

Reflexivo - $R \rightarrow R$

Simétrico - $R \rightarrow S$ ; $S \rightarrow R$

Antisimétrico - $R \rightarrow S$ && ( $R \rightarrow R$ || $S \rightarrow S$ )

Asimétrico - $R \rightarrow S$ && !( $R \rightarrow R$ || $S \rightarrow S$ )

Transitivo - si $R \rightarrow S$ && $S \rightarrow T$ entonces $R \rightarrow T$

Si no es así como se llama a las propiedades en español, por favor, hágamelo saber - tengo que estudiarlo en alemán, por desgracia, y estas son mis traducciones aproximadas.

Continuando, no sé qué hacer con esta información prácticamente. Los ejemplos del libro son horribles:

1) "Tiene la misma edad que" es aparentemente reflexivo, simétrico y transitivo. 2) "Está relacionado con" también es aparentemente reflexivo, simétrico y transitivo. 3) "Es mayor que" es asimétrico, antisimétrico y transitivo.

Hay más ejemplos inútiles como éste. No tengo ni idea de cómo se llega a estas conclusiones porque estamos hablando de una declaración literal. Esperaba quizás algunos ejemplos matemáticos reales, pero el libro se queda corto en eso.

Agradecería mucho que alguien me explicara el ejemplo anterior y quizás me diera un mejor uso para las Relaciones que no sea... ese. Además, ¿cómo puede una relación ser a- y antisimétrica al mismo tiempo? ¿No se anulan entre sí?

Answer 1

Me gustaría cambiar la notación de sus definiciones, ya que $R$ , $S$ y $T$ se suele utilizar para representar las propias relaciones (y $x, y$ y $z$ se elegiría más comúnmente para los objetos que pudieran tener relación entre sí).

Reflexivo - Para todos $x: xRx$

Ejemplo de relación reflexiva: $xRy$ es la abreviatura de $x$ es un factor de $y$ (en el conjunto de los números naturales)

Simétrico - Para todos $x,y$ : si $xRy$ entonces $yRx$

Ejemplo de relación simétrica: $xRy$ es la abreviatura de $x$ y $y$ son $2$ metros de distancia" (en el conjunto de todas las personas de una habitación determinada)

Antisimétrico - Para todos $x,y$ : si $xRy$ y $yRx$ entonces $x = y$

Ejemplo de relación antisimétrica: $xRy$ es la abreviatura de $x$ es un factor de $y$ (en el conjunto de los números naturales)

Asimétrico - Para todos $x,y$ : si $xRy$ entonces no $yRx$

Ejemplo de relación asimétrica: $xRy$ es la abreviatura de $x$ es más alto que $y$ ' (en el conjunto de todas las personas)

Transitivo - Para todos $x,y,z$ : si $xRy$ y $yRz$ entonces $xRz$

Ejemplo de relación transitiva: $xRy$ significa " ". $x$ es más alto que $y$ ' (en el conjunto de todas las personas)

Answer 2

Existen varios tipos importantes de relaciones, cada uno de los cuales satisface una colección diferente de propiedades:

Relaciones de equivalencia: Son reflexivas, simétricas y transitivas. Esencialmente son relaciones que "se comportan como una igualdad". La elemental más importante es la "equivalencia módulo m", donde digamos 1 = 6 = 11 módulo 5.

Ordenaciones parciales: Son reflexivos, transitivos y (antisimétricos o tal vez asimétricos, tengo problemas para analizar tus afirmaciones lógicas). Esencialmente son relaciones que "se comportan como menos que o igual a". Un ejemplo elemental importante es "divide", donde decimos a|b si la relación b/a es un número entero. Nótese que 2|6 pero 6 no divide a 2. Sin embargo si 2|4 y 4|8 ciertamente 2|8.

Answer 3

Asimétrico significa simplemente "no simétrico". Así que en el caso binario, NO es el caso que si a está relacionado con b, b está relacionado con a.

Antisimétrico significa que si a está relacionado con b, y b está relacionado con a, a = b.

Para explicar tu tercer ejemplo: "es mayor que" es asimétrico porque si Alicia es mayor que Bob, Bob NO es mayor que Alicia. "es mayor que" es antisimétrico ya que si Alice es mayor que Bob, y Bob es mayor que Alice, Alice debe ser Bob porque alguien debe ser mayor (y si no es así, Alice simplemente tiene dos nombres..). "es mayor que" es transitivo ya que si Alicia es mayor que Bob, y Bob es mayor que Charlie, Alicia también es mayor que Charlie.

Así que asimétrico y antisimétrico no se cancelan porque el primero significa que es una especie de relación unidireccional, mientras que el segundo significa, vagamente, que si inviertes los operandos y ambas afirmaciones son verdaderas, los operandos deben ser los mismos.

Answer 4

No está claro qué es lo que pide la pregunta. Por ejemplo, una relación transitiva y simétrica DEBE ser reflexiva (a menos que la relación no se dé entre dos objetos).

¿O está pidiendo relaciones matemáticas que tengan estas propiedades? ">" es transitiva, asimétrica y total o completa (para todos los distintos x,y ya sea xRy o yRx). Es un orden total estricto. "mayor o igual" es transitivo, completo, simétrico y reflexivo. Es un orden total débil.

"x es un subconjunto de y" es reflexivo y antisimétrico pero no necesariamente transitivo, simétrico (aunque puede ser cualquiera de esas cosas si se restringe al tipo correcto de conjuntos). "x es un subconjunto propio de y" es asimétrico e irreflexivo (para todo x, no es el caso que xRx), y puede ser transitivo si se restringe a la clase correcta de conjuntos.

Nótese que en ambos casos se puede definir una de cada par de relaciones en términos de la otra (más una noción de identidad o no identidad).

En lógica, la noción de "x implica a y" es transitiva, reflexiva.

La relación "x tiene la misma parte entera que y" sobre los números reales es transitiva, reflexiva y simétrica. Se denomina relación de equivalencia.

Answer 5

El cálculo de relaciones es un álgebra de operaciones sobre conjuntos de pares de individuos, donde para cualquier relación R, podemos expresar la relación de la manera infija habitual: x R y si (x,y) ∈ R. Esto permite expresar todas las propiedades de las relaciones en forma ecuacional.

Hay cuatro relaciones fundamentales que queremos definir, cada una de las cuales constituye un ejemplo no inútil de tres de sus cinco propiedades de las relaciones, más otra propiedad útil, la irreflexividad:

• Ec = {(x,x) | para cada individuo x}. Se trata de la relación diagonal o de igualdad que se mantiene sólo entre algo y ella misma. Es reflexiva, simétrica y transitiva, es decir, es una relación de equivalencia.
• Todo = {(x,y) | para todos los individuos x,y}. La relación whenever, es también una relación de equivalencia.
• Neq = {(x,y) | para todos los individuos x,y para los que x ≠ y}: la relación de desigualdad que se mantiene entre cualquier cosa diferente. Es simétrica e irreflexiva, pero no transitiva.
• Nunca es el conjunto vacío. Es simétrico y transitivo, e irreflexivo.

Tres operaciones binarias básicas sobre relaciones, y una relación unaria:

• R∩S = {(x,y) | (x,y) ∈ R y (x,y) ∈ S};
• R-S = {(x,y) | (x,y) ∈ R y (x,y) ∉ S};
• R⋅S = {(x,z) | hay algún y tal que (x,y) ∈ R y (y,z) ∈ S} (composición);
• tr(R) = {(y,x) | (x,y) ∈ R} (transposición).

Obsérvese que Nunca = Todo-Todo, y Neq = Todo-Eq.

Decimos R -> S cuando S se cumple siempre que R se cumple. Esto es lo mismo que decir que R es un subconjunto de S, o que R∩S=R, o que R-S=Nunca. Así que Nunca -> Ec, y Ec -> Todo.

Entonces podemos expresar sus cinco relaciones:

1. R es reflexiva cuando Eq -> R; dualmente tenemos una propiedad adicional de una relación, donde R es antirreflexiva cuando R -> Neq;
2. R es simétrico cuando R -> tr(R);
3. R es antisimétrico cuando R ∩ tr(R) -> Eq, o equivalentemente cuando R ∩ tr(R) ∩ Neq = 0.
4. R es asimétrica cuando R ∩ tr(R)=Nunca: una relación es asimétrica cuando es antisimétrica y antirreflexiva;
5. R es transitiva cuando R⋅R -> R.

Además, ¿cómo puede una relación ser a- y antisimétrica al mismo tiempo? ¿No se anulan entre sí? - Mira la Ec: es simétrica y antisimétrica, aunque no es asimétrica. De hecho, todas las relaciones asimétricas son antisimétricas, pero no a la inversa: la diferencia es que asimétricas y antisimétricas difieren en lo que afirman sobre la diagonal: las antisimétricas no se preocupan por los pares que pueda haber a lo largo de la diagonal, mientras que las asimétricas insisten en que no hay pares a lo largo de la diagonal, lo cual es irreflexividad.