$T\in \mathcal L(V)$, Tenemos $\text{adj}(T)T=(\det T)I$.

Question

Deje $V$ $n$- dimensional espacio vectorial sobre un campo de característica $0$. Para un operador lineal $T\in \mathcal L(V)$, sabemos que $\bigwedge^n T=(\det T)I$ donde $I:V\to V$ es el mapa de identidad.

Además, a partir de esta respuesta se puede definir la adjunta de a $T$ $\bigwedge^{n-1}T^t:\bigwedge^{n-1}V^*\to \bigwedge^{n-1}V^*$ donde $T^t$ es la transpuesta de a $T$. Escribimos $T^\sharp$ como una abreviación de $\bigwedge^{n-1}T^t$.

La Pregunta: es bien conocida fórmula de que si $M$ $n\times n$ matriz con entradas en un campo $F$, luego $$\text{adj}(M)M=M(\text{adj}(M))=(\det M)I_n$$ donde $\text{adj}(M)$ es la adjunta de a $M$.

Estoy tratando de formular este hecho en el lenguaje de los mapas en lugar de matrices. El problema es que no significa nada para llevar el producto de $T^\sharp$$T$. Sólo tenemos que hacer una conexión entre $T^\sharp$ , $T$, y $\bigwedge^n T^t$.

Answer 1

Así que vamos a suponer que $V$ tiene un no-degenerada forma bilineal $\langle\cdot,\cdot\rangle$ con una base $e_1,\dots,e_n$ tal que $\langle e_i,e_j\rangle = \delta_{ij}$, la delta de Kronecker. Deje $*$ denotar la estrella de Hodge operador. Tenga en cuenta que tenemos la fórmula $$ \langle x,y\rangle = *((*x)\wedge y) .$$

Vamos a identificar cualquier operador en $V$ con su representación de la matriz. Entonces tenemos la siguiente identidad: $$ \langle Tx,y\rangle = \langle x,T^T y\rangle \quad (x,y \in V) .$$ Ahora ampliamos $T$ a todos los de $\Lambda(V)$ en la forma estándar mediante la fórmula $T(x\wedge y) = Tx \wedge Ty$. Luego tenemos las identidades $$ \text{adj}(T)^T x = *(T(*x)) \quad (x \in V) ,$$ $$ \det(T) = *(T(*1)) ,$$ tomando nota de que $*1 = e_1\wedge e_2 \wedge \cdots \wedge e_n$.

A continuación, para todos los $x,y \in V$, tenemos $$ \langle \text{adj}(T)^T x,Ty\rangle = *(T(*x) \wedge Ty) = *(T((*x)\wedge y)) = \det(T) \langle x,y\rangle .$$ Desde $\langle\cdot,\cdot\rangle$ es no degenerada, tenemos $$ \det(T) I = (\text{adj}(T)^T)^T \cdot T = \text{adj}(T) \cdot T .$$

Answer 2

Voy a proponer a otro (ligeramente diferentes, pero isomorfo) definición de la adjunta (clásica adjunto). Im endeudamiento de la sección 8 de http://people.reed.edu/~jerry/332/27exterior.pdf .

Deje $f:V\rightarrow V$ ($n$ la dimensión de $V$). Tenemos un isomorfismo canónico $\phi:V=\wedge^1 V\rightarrow\mathrm{Hom}(\wedge^{n-1} V,\wedge^n V)$ inducida por el producto exterior. Vamos a la adjunta $\mathrm{adj}(f):V\rightarrow V$ $f$ ser obtenida a partir de a $\mathrm{Hom}(\wedge^{n-1} f,\wedge^{n} V)$ través $\phi$, es decir,$\phi\circ \mathrm{adj}(f)=\mathrm{Hom}(\wedge^{n-1} f,\wedge^{n} V)\circ\phi$. A continuación, es fácil comprobar que $\mathrm{adj}(f)\circ f=\det(f)\mathrm{id}_V$: simplemente marque $\phi((\mathrm{adj}(f)\circ f)v)=\phi(\det(f)v)$ por cada $v\in V$.