Estoy haciendo un curso sobre curvas elípticas. Estamos trabajando con un campo de $K$ con $\mu_n \subset K$ ($K$ contiene todos los $n$th raíces de la unidad) y $\mbox{char}(K)\not|\;n$.
Estoy tratando de entender la prueba de
Hay un bijection $$\begin{Bmatrix}\mbox{finite subgroups of }\Delta \subset \frac{K^\times}{(K^\times)^n}\end{Bmatrix}$$ $$\leftrightarrow$$ $$ \begin{Bmatrix}\mbox{finite abelian extensions }L/K\mbox{ of exponent dividing }n\end{Bmatrix}$$ dado por $$\begin{array}{rll} \Delta & \mapsto & L=K(\sqrt[n]{\Delta} \\ \\ \frac{K^\times \cap (L^\times)^n}{(K^\times)^n} & \leftarrow & L. \end{array}$$
Dado $\Delta \subset \frac{K^\times}{(K^\times)^n}$, definimos $L=K(\sqrt[n]{\Delta})$ y $$\Delta'=\frac{K^\times \cap (L^\times)^n}{(K^\times)^n}$$ We want to show that $\Delta=\Delta'$. Clearly $\Delta \subconjunto \Delta'$. Then we have $$L=K(\sqrt[n]{\Delta})\subset K(\sqrt[n]{\Delta'})\subset L,$$ así que estas inclusiones son igualdades. A continuación, el profesor escribe
por el Lema 10.1, $|\Delta|=|\Delta'|$.
Donde el Lema 10.1 dice
Deje $\Delta \subset \frac{K^\times}{(K^\times)^n}$ ser un subgrupo finito. Deje $L=K(\sqrt[n]{\Delta})$. A continuación, $L/K$ es de Galois con $$\mbox{Gal}(L/K) \cong \mbox{Hom}(\Delta, \mu_n).$$
Pero no veo por qué no, sabemos inmediatamente que $\Delta'$ es finita, lo que creo que necesitamos saber para aplicar el lema.
¿Por qué hay sólo un número finito de
$$\left(\sum_{i=1}^m a_i\sqrt[n]{x_i}\right)^n\in K \hspace{10mm} a_i \in K, x_i \in \Delta$$
hasta estando en la misma $(K^\times)^n$ coset?
