Bueno por lo que aquí es mi trabajo personal en el conjunto de problemas. Sólo tengo la pregunta 5 restantes que implica la generalización de cualquier secuencia recursiva. $n$'s corresponden a las $n$ en n-nacci.
Espero escribir un artículo en el que hablo de mis resultados y elaborar un teorema que describe un método para encontrar cualquier ath plazo de una recursividad de la secuencia. (A partir de un n-nacci secuencia)
Enlaces a anteriores publicaciones: Los Números De Fibonacci - Análisis Complejo
Fibonacci( Binet la Fórmula de Derivación)-Revisado con el trabajo que se muestra
Aquí está mi intento en el conjunto de problemas en la página 106 hasta ahora: (Número 5 es la única pregunta que me han dejado) http://www.math.binghamton.edu/sabalka/teaching/09Spring375/Chapter10.pdf
(2) Para obtener una generación de función para $f_a$, tenga en cuenta que el n-nacci de la serie está definida por la secuencia de los números de $f_a = f_{a-1}+f_{a-2}+f_{a-3} \cdots + f_{a-n}, \ldots )$.
Si rompemos esta en $n+1$ separado la generación de funciones y los suma para obtener la generación de la función $F(z)$ será algo parecido a:
para un $F(z) = f_0+f_1z+f_2z^2+...+f_az^a$
$$(0,1,0,0,0...) \rightarrow\,z)$$
$$+(0,f_0,f_1,f_2, \cdots )\to\,zF(z)$$
$$+ (0,0,f_0,f_1,f_2, \cdots )\to z^2F(z)$$
$$+ (0,0,0,f_0,f_1,f_2, \cdots )\to z^3F(z)$$
$ \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \small \bullet $
$ \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \small \bullet $
$ \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \small \bullet $
$$+ (0_1,0_2,0_3, \cdots ,0_n,f_0,f_1,f_2, \cdots )\to z^nF(z)$$
Todo esto es igual a $$(0,1, \cdots f_{a-1}+f_{a-2}+f_{a-3} + \cdots +f_{a-n})\to z+zF(z)+z^2F(z)+z^3F(z) + \cdots + z^nF(z)$$
Por lo tanto,$F(z)=z+zF(z)+z^2F(z)+z^3F(z) + \cdots + z^nF(z)$, solución para $F(z)$ obtenemos
$$F(z) = \frac {z}{1-z-z^2-z^3- \cdots - z^n} \bullet$$
Estoy en el camino correcto?
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Sentí que tendría más sentido hacer (2) antes de (1) (1)
*En primer lugar tenga en cuenta que por la fórmula cuadrática, las dos raíces del denominador son $\varphi,\bar \varphi$ donde $\varphi= \frac {1+\sqrt5}{2}$.
$$\lim_{n\to\infty}\left|\frac{f_{n+1}z^{n+1}}{f_nz^n}\right|=|z|\lim_{n\to\infty}\frac{f_{n+1}}{f_n}=\varphi|z|\;,$$
de modo que el radio de convergencia es $\dfrac1\varphi=\dfrac{-1+\sqrt5}2$
No tienen ninguna idea de cómo generalizar esto a un n-nacci secuencia.
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(3)
$Res(f,c) = \frac{1}{a-1!}\lim_{z\to c}\frac{d^a-1}{dz^a-1} ((z-c)^aF(z)$ para un polo de orden $a$.
$$1=Res_{z=0}z^{-1}$$ then $z^{+1}$ sería la extracción de plazo:
$$f_a=Res_{z=0}\frac{1}{z^{a+1}} \sum_{n>1}{f_az^a}$$
Podría yo, en lugar de generalizar esto?
$$\operatorname {Res}_{z=0}\left(\frac{z}{z^{a+1}(1-z-z^2-z^3- \cdots -z^n)}\right)$$
$$\begin{align*}
&=\frac1{a!}\lim_{z\to 0}\frac{d^a}{dz^a}\left(z^{a+1}\frac{z}{z^{a+1}(1-z-z^2-z^3- \cdots - z^n)}\right)\\
&=\frac1{a!}\lim_{z\to 0}\frac{d^a}{dz^a}\big(F(z)\big)\\
&=\frac1{a!}\lim_{z\to 0}\frac{d^a}{dz^a}\sum_{k\ge 0}f_kz^k\\
&=\frac1{a!}\lim_{z\to 0}\sum_{k\ge 0}f_k\frac{d^a}{dz^a}z^k\\
&=\frac1{a!}\lim_{z\to 0}\sum_{k\ge a}f_k \Big( \prod_{i=0}^{a-1} (k-i) \Big)z^{k-a}\\
&=\frac1{a!}\lim_{z\to 0}\left(f_aa!+\sum_{k>a}f_k \Big( \prod_{i=0}^{a-1} (k-i) \Big) z^{k-a}\right)\\
&=f_n+\frac1{a!}\lim_{z\to 0}z\sum_{k\ge a+1}f_k \Big( \prod_{i=0}^{a-1} (k-i) \Big) z^{k-(a+1)}\
&=f_n\; \bullet
\end{align*}$$
