Un ejemplo de subconjunto acotado y contablemente infinito de los números reales.

Question

He tratado de pensar en un ejemplo de subconjunto acotado y contablemente infinito de los números reales. Sin embargo, sabiendo que los medios contablemente infinitos pueden ponerse en correspondencia 1-1 con los naturales, esto no parece intuitivamente obvio.

Gracias de antemano.

Answer 1

$$\left\{\frac1n:n\in\Bbb Z^+\right\}$$

Answer 2

El conjunto de racionales contenido en $ [0,1] $ es otro ejemplo.

Apéndice

Si se comienza con cualquier conjunto contablemente infinito $ S \subseteq (- \infty,\infty) $ es decir sin límites Entonces hay una salida rápida. La función tangente inversa $ \tan^{-1} $ mapas $ (- \infty,\infty) $ de forma biyectiva al intervalo acotado $ \left( - \dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2} \right) $ , por lo que la imagen $ {\tan^{-1}}[S] $ es un conjunto acotado y contablemente infinito. :)

Answer 3

$$\mathbb{Q} \cap [a,b]$$ donde $a,b \in \mathbb{R}$ , $a<b$ .

Answer 4

Dejemos que $A = \{ 1/n : n \in \mathbb{N} \}$ donde $\mathbb{N} = \{ 1, 2, 3, ... \}$ .

$A$ está acotado entre 0 y 1, y tiene una obvia biyección con $\mathbb{N}$ .

Answer 5

$\left\{\frac{1}{n} | n \in \mathbb{N}\right\}$

• Está delimitado en $(0,1]$
• Corresponde a $\mathbb{N}$ por $\varphi(n)=\frac{1}{n}$