En primer lugar usted necesita una proposición
La proposición 5.12 (c) Deje $S$ ser gradual anillo y deje $X = \text{Proj } S$. Suponga que $S$ es generado por $S_1$ $S_0$ álgebra. Deje $T$ otro gradual anillo, generados por $T_1$ $T_0$ álgebra, vamos a $\phi: S\to T$ un morfismos la preservación de grados, y deje $U\subset Y = \text{Proj } T$ $f: U\to X$ ser el de morfismos determinado por $\phi$. A continuación, $f^*(\mathcal{O}_X(n)\cong \mathcal{O}_Y(n)|_U$
Recuerde que la inducida por morfismos $f$ $f(\mathfrak{p}) = \phi^{-1}(\mathfrak{p})$ esto está bien definido debido a $\phi$ es graduado de morfismos. Ahora, permítanme citar un lexema que seguramente han estado usando, pero tal vez no se dieron cuenta
Lema. $\text{Proj} \, A[x_0,...,x_n] = \text{Proj} \, \mathbb{Z}[x_0,...,x_n] \times_{\text{Spec }\mathbb{Z}} \text{Spec} \, A$
Lo que hay que mostrar es el siguiente
La reclamación. Si $Z=\text{Spec } A$, entonces la torsión gavilla $\mathcal{O}(1)$ $\mathbb{P}^r_Z$ es el mismo que el $\mathcal{O}(1)$ definido en $\mathbb{P}^r_A$
Prueba. Vamos a demostrar que se cumple la hipótesis de la proposición anterior, así que vamos a $S=\mathbb{Z}[x_0,\dots,x_r]$ y deje $T=A[y_0,\dots,y_r]$ tanto con la naturaleza de la graduación. Considere la posibilidad de la canónica de morfismos $\phi: S\to T$ y deje $Y=\text{Proj } T$, en este caso el uso de $U=Y$. Ahora $X= \mathbb{P}_\mathbb{Z}^r$ y por el lema
$$\mathbb{P}^r_Z = \mathbb{P}^r_\mathbb{Z}\times_{\text{Spec }\mathbb{Z}} \text{Spec } A = \text{Proj} \, \mathbb{Z}[x_0,...,x_r] \times_{\text{Spec }\mathbb{Z}} \text{Spec} \, A = \text{Proj } A[x_0,\dots,x_r] = \text{Proj } T = Y$$
Observar que, por definición, la inducida por el mapa de $f: Y \to X$ es el mismo que el natural mapa de $g$ utilizado en su segunda definición, entonces por la proposición $\mathcal{O}(1) = g^*(\mathcal{O}_X(1)) = f^*(\mathcal{O}_X(1)) = \mathcal{O}_Y(1)$
