Ampliación de funciones de enteros a reales de forma "agradable".

Question

Para cada función $f$ de $\mathbb{Z}$ a $\mathbb{R}$ ¿podemos encontrar una función $g$ de $\mathbb{R}$ a $\mathbb{R}$ que es infinitamente diferenciable y coincide con $f$ en $\mathbb{Z}$ ? Además, ¿habría una forma sencilla de definir explícitamente un $g$ por cada $f$ ?

¿Podríamos imponer condiciones más estrictas a $g$ que esto; me siento haciendo $g$ infinitamente diferenciable no sería demasiado difícil de alguna manera parcial (quizás usando variaciones de $e^{-1/x^2}$ que se estiran y se cosen para que todas las derivadas sean 0 en cada número entero, aunque esto parece feo), pero tal vez también podamos encontrar un $g$ igual a su serie de Taylor alrededor de un punto, o a $g$ ¿satisfacer otras buenas condiciones? Gracias.

Answer 1

Sí. Incluso podemos hacer $g$ igual a su serie de Taylor alrededor de cada punto, en todas partes -- o, en otras palabras, cada función $\mathbb Z\to\mathbb C$ puede ampliarse a un analítica función $\mathbb C\to\mathbb C$ .

Podemos construir $g$ como la suma de una secuencia de polinomios $g_1, g_2, g_3, \ldots$ , de tal manera que

• $g_n$ es cero en $[-(n-1),n-1]\cap\mathbb Z$
• $g_n$ tiene los valores correctos en $-n$ y $n$ para dar a la suma el valor correcto en estos dos puntos.
• $|g_n(z)|<2^{-n}$ para $|z|\le n-1$ .

La última de estas propiedades garantizará que la suma existe en todas partes y es analítica en todas partes (ya que converge uniformemente en todo subconjunto acotado de $\mathbb C$ ).

No importa cuáles sean los valores de $g_n(-n)$ y $g_n(n)$ siempre podemos conseguir todas las propiedades requeridas eligiendo $$ g_n(z) = (b+cz)z^m\prod_{k=-(n-1)}^{n-1} (z-k) $$ para las constantes apropiadas $m$ , $b$ y $c$ . (Elegir $m$ suficientemente grande puede hacer que la magnitud del valor de la función en el disco $B_{n-1}(0)$ lo suficientemente pequeño en comparación con los valores en $-n$ y $n$ que la tercera propiedad puede ser alcanzada).

Por supuesto, esta extensión es no es único -- como mínimo podemos añadir cualquier múltiplo de $\sin(\pi z)$ queremos el resultado sin perder la analiticidad.

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O, si sólo queremos $g$ para ser analítico en $\mathbb R$ podemos elegir simplemente $$ g(x) = \sum_{k\in\mathbb Z} \operatorname{sinc}(x-k)^{m_k} f(k) $$ donde $\operatorname{sinc}(x)=\frac{\sin(\pi x)}{\pi x}$ y $m_k$ se elige lo suficientemente grande como para que $\operatorname{sinc}(x)^{m_k}f(k) < 2^{-|k|}$ para todos $|x|>1$ .

Answer 2

Se puede obtener un resultado de unicidad a partir de Teorema de Carlson :

Dado un conjunto de números $a_n$ , $n\in\mathbb{N}$ . Queremos encontrar una función analítica $f$ con $$ f(n) = a_n \tag{1}$$ (para $n\in\mathbb{N}$ ) y que cumple las siguientes condiciones de crecimiento: $$|f(z)| \leq C e^{\tau |z|} \tag{2}$$ para todos $z \in \mathbb{C}$ y para algunos $C,\tau < \infty$ . Y existen $c< \pi$ tal que $$|f(iy)| \leq C e^{c |y|} \tag{3}$$ para todos $y\in\mathbb{R}$ . Entonces la unicidad de $f$ se deduce del teorema de Carlson.

Prueba:

Dadas (por el contrario) dos funciones $f$ y $g$ cumpliendo (1), (2), (3). Entonces aplicamos el teorema de Carleson sobre $h=f-g$ y mostrar $h=0$ .

Obsérvese que (3) es necesario para prohibir la adición de $\sin(\pi z)$ como señaló Henning Makholm.