Relación entre $\sin(\cos(\alpha))$y $\cos(\sin(\alpha))$

Question

¿Si $0\le\alpha\le\frac{\pi}{2}$, entonces cuál de las siguientes es verdadera?

A) $\sin(\cos(\alpha))<\cos(\sin(\alpha))$

B) $\sin(\cos(\alpha))\le \cos(\sin(\alpha))$ e igualdad tiene $\alpha\in[0,\frac{\pi}{2}]$

C) $\sin(\cos(\alpha))>\cos(\sin(\alpha))$

D) $\sin(\cos(\alpha))\ge \cos(\sin(\alpha))$ e igualdad tiene $\alpha\in[0,\frac{\pi}{2}]$

Prueba $\alpha=0$, puedo decir que las dos últimas opciones serán incorrectas. ¿Sin embargo tendrá opción entre las dos primeras?

Answer 1

peterwhy ha demostrado lo que la trama de la muestra.

Answer 2

Así que ahora la pregunta es si dos curvas $$ $ y=f(x)=\sin(\cos x)\\ y=g(x)=\cos(\sin x)\\ x \in\left[0,\frac\pi2\right]$$ toca a cada uno de los otros, ya que ambas curvas son diferenciables en el intervalo dado y estamos seguros de que las curvas no se cruzan en su lugar, a partir de las opciones dadas. (Aunque no tengo ni idea de cómo demostrar que las curvas no se cruzan)

Diferenciar las dos funciones, $$f'(x) = -\cos(\cos x)\cdot\sin x\\ g'(x) = \sin(\sin x)\cdot\cos x$$

La equiparación de los dos, $$\begin{align*} \sin(\sin x)\cdot\cos x &= \cos(\cos x)\cdot\sin x\\ \sin(\sin x)&= \cos(\cos x)\cdot\tan x\\ \sin^2(\sin x)&= \cos^2(\cos x)\cdot\tan^2 x\\ 1-\cos^2(\sin x)&= \left[1-\sin^2(\cos x)\right]\cdot\tan^2 x\\ \end{align*}$$ Si no hay/fueron, de hecho, un punto de tocar, $\cos(\sin x) = \sin(\cos x)$, por lo que $$\begin{align*}\tan^2 x &= 1\\ x &= \frac\pi4. \end{align*}$$ Pero, a continuación, $$\cos\left(\sin \frac\pi4\right)=\cos\frac{\sqrt2}2\ne\sin\frac{\sqrt2}2=\sin\left(\cos\frac\pi4\right),$$ por lo tanto se contradice. La igualdad no se mantenga en ese rango.

Answer 3

Vamos $a=\cos{x}$, $b=\sin{x}$, y $a,b \in[0,1]$. Ahora vamos a ver cuál ($\sin{a}$ o $\cos{b}$) es mayor?

Noticg que $a$ $b$ satisfacer $a^2+b^2=1$, y si consideramos que el valor de $a$ $b$ como un par $(a,b)$ $(a,b)$- plano, debe ser un círculo con un radio de $1$ en el primer cuadrante.

Si $\sin{a}=\cos{b}=\sin{(\frac{\pi}{2}-b)}, \forall a,b \in [0,1]$ sostiene, a continuación, $a=\frac{\pi}{2}-b$ (es decir, la línea de $a+b=\frac{\pi}{2}$), pero $a+b=\frac{\pi}{2}$ no toque el círculo de $a^2+b^2=1$, por lo que la igualdad no se cumple.

Por otra parte, la región de $a^2+b^2=1$ localiza por debajo de la línea de $a+b=\frac{\pi}{2}$, $a+b < \frac{\pi}{2}$. Y, $\sin{\theta}$ es una función creciente de $\theta \in [0,1]$,$\sin{a} < \sin{(\frac{\pi}{2}-b)}=\cos{b}$. La respuesta es A).

Answer 4

%#% Es #% la desigualdad $(0,\pi/2]$ $, y $$\sin x< x$ es estrictamente decreciente. Por lo tanto $\cos$ $

$$\cos\sin x-\sin\cos x>\cos\sin x-\cos x> 0$ Tenemos $x=0$. La opción correcta es A.)