Un clásico de la categoría de la teoría de la vista de la métrica espacios afirma que "corregir" los mapas son la distancia decreciente:
$$
d(f(a), f(a')) \leq d(a, a')
$$
donde $A$ y $B$ son espacios métricos, $f: A \B$ y $a,' \en Un$. A continuación, todos los mapas son continuos, y la isomorphisms son las isometrías en.
Esto viene a partir de la visualización de métricas espacios enriquecidos categorías, como el propuesto por Lawvere. La enriquecido functors luego son exactamente la distancia-la disminución de los mapas.
Editar permítanme añadir algún detalle. Consideremos el conjunto $V=[0, \infty]$ de no-negativos reales. (La inclusión de $\infty$ no es importante aquí.) Es ordenado por $\geq$, y por lo tanto puede ser considerado como una categoría: existe un mapa de $x \a y$ si $x \geq y$, y no hay mapas de $x \a y$ lo contrario. Se convierte en un monoidal categoría de menos de $+$ y $0$.
$V$enriquecido categoría es entonces un conjunto $A$ de objetos (o los puntos) junto con, para cada par $(a, b)$ de los puntos, un objeto $A(a, b)$ $V$ --- que es, un no-real negativo, que es posible que prefiere llamar $d(a, b)$. La composición se convierte entonces en el triángulo de la desigualdad, y las identidades de la afirmación de que la distancia de un punto a sí mismo es de $0$. Así, un $V$enriquecido categoría es "generalizada espacio métrico": no hay ningún requisito de simetría (por lo que podría tomar distancia para el trabajo realizado en el movimiento entre los puntos de una región montañosa) o que los puntos de distancia $0$ aparte son iguales (que es igual a no pedir isomorfo objetos de una categoría a ser igual).
A continuación, usted debe ser capaz de ver que $V$enriquecido functors son lo que me dijeron que eran.
Editar re Lipschitz mapas no quiero evangelizar a este punto
de vista demasiado. Pero es una cuestión de hecho que Lipschitz mapas de hacer
surgen naturalmente en este marco.
Para explicar esto primero hay que explicar un poco acerca de " cambio de
la base' enriquecido categorías. Cualquier lax monoidal functor $\Phi:
\mathcal{V} \\mathcal{W}$ induce un functor $\Phi_*:
\mathcal{V}-\mathbf{Cat} \\mathcal{W}-\mathbf{Cat}$, en un obvio
manera. Por ejemplo, si $\Phi: \mathbf{Vect} \\mathbf{Set}$ es la
olvidadizo functor, entonces $\Phi_*$ envía un lineal de la categoría a su
subyacente ordinario de la categoría.
Esto significa que, dado un lax monoidal $\Phi: \mathcal{V} \\mathcal{W}$,
$\mathbf{V}$enriquecido categoría $\mathbf{A}$, y un
$\mathbf{W}$enriquecido categoría $\mathbf{B}$, podemos definir un
$\Phi$enriquecido functor $\mathbf{A} \\mathbf{B}$ para ser un
$\mathcal{W}$enriquecido functor $\Phi_*(\mathbf{A}) \a \mathbf{B}$. Uno
también puede llamar a esto un " functor más de $\Phi$'.
Eso es completamente general enriquecido categoría de teoría. Ahora vamos a
aplicarlo a $\mathcal{V} = \mathcal{W} = [0, \infty]$. Para cualquier $M
\geq 0$, la multiplicación por $M$ define (estricto) de monoidal functor
$M\cdot -de: [0, \infty] \[0, \infty]$. Deje que $A$ y $B$ se métrica
espacios. A continuación, un $(M\cdot -)$-enriquecido functor de $a$ a $B$ es
precisamente una función $f: A \B$ que
$$
d(f(a), f(a')) \leq M\cdot d(a, a')
$$
para todo $a,' \en Un$. En otras palabras, es un mapa de Lipschitz.
Un poco más puede ser exprimida de este. Los mapas de $M\cdot -$ son los
estricto monoidal endofunctors de $[0, \infty]$. Pero podemos hablar
sobre $\phi$enriquecido mapas de métrica de espacios para todo tipo de lax
monoidal endofunctor de $[0, \infty]$. `Lax monoidal' significa que
$$
\phi(0) = 0,
\ \ \ \ \ \
\phi(x + y) \leq \phi(x) + \phi(y),
$$
que es una especie de concavidad de la propiedad (satisfecho por $\phi(x) = \sqrt{x}$,
por ejemplo). Entonces $\phi$enriquecido mapa de $a$ a $B$ es un
la función $f: A \B$ que
$$
d(f(a), f(a')) \leq \phi(d(a, a'))
$$
para todo $a,' \en Un$. Es ese tipo de mapa encontrado útil?
