Contraejemplo de polinomios en espacios de Banach de dimensión infinita

Question

Estoy tratando de demostrar el ejercicio I.3.B en "Análisis complejo en espacios de Banach" de Mujica.

DEFINICIONES:

Un mapa $P$ es un polinomio m-homogéneo de $E$ a $F$ si existe un mapa m-lineal $A$ de $E^m$ a $F$ tal que $P(x)=A(x, \dots, x)$ .

$P$ es un polinomio de grado máximo $m$ si $P = P_0 + \dots + P_m$ donde cada $P_j$ es un polinomio j-homogéneo.

Tengo que encontrar una función $f: E \to \mathbb{K}$ (donde $E$ es de dimensión infinita) tal que $f(a + \lambda b)$ es un polinomio en $\lambda$ para todos $a,b \in E$ pero $f$ no es un polinomio.

$f$ claramente tiene que ser discontinua porque hay un teorema que implica que $f$ sería un polinomio en el caso continuo.

Pensé en considerar algo como (donde $\theta$ representa la función de paso):

$$f(a+\lambda b) = \theta (\| b\| -1) (a_1 + \lambda b_1)$$

Pero no sé cómo demostrarlo $f$ no sería un polinomio o incluso cómo aplicarlo a un $x \in E$ .

También sé que la restricción de $f$ a cualquier subespacio de dimensión finita de $E$ es efectivamente un polinomio y que existe una secuencia de polinomios homogéneos $P_k$ tal que $f(x)=\sum_{k=0}^{\infty} P_k(x)$ donde para cada $x \in E$ $P_k(x)=0$ para todos los índices excepto para los finitos.

¿Qué función podría servir de ejemplo para esta situación?

Puedo proporcionar cualquier definición si no estás familiarizado con la terminología. Por favor, pida una aclaración en un comentario si ese es el caso.

Answer 1

Dejemos que $\{x_i;i\in I\}$ sea una base de Hamel para $E.$ Si $E$ es de dimensión infinita, entonces sin pérdida de generalidad podemos tener $I$ incluyen los números naturales como subconjunto.

Definir

$$f:E\to\mathbb K:\sum_{i\in I}\alpha_ix_i\mapsto\sum_{n\in\mathbb N}\alpha_n^n.$$

Entonces $f$ no puede ser un polinomio de grado como máximo $m$ para cualquier $m,$ porque para todos $\lambda\in\mathbb K$ tenemos

$$f(\lambda x_{m+1})=\lambda^{m+1}$$

Por otro lado, en el caso de los $a$ y $b$ en $E$ la función $\lambda\mapsto f(a +\lambda b)$ es un polinomio en $\lambda$ porque $a$ y $b$ son combinaciones lineales de un número finito de elementos de la base Hamel.