Una de las estrategias en una pelea de bolas de nieve

Question

He aquí un común college problema de física:

Una de las estrategias en una pelea de bolas de nieve es lanzar una primera bola de nieve en una ángulo alto sobre el nivel del suelo. Tu oponente mientras está viendo la primero, usted lanza un segundo en un ángulo bajo y el tiempo para llegar a tu adversario antes o al mismo tiempo que la primera. Asumir ambos se tiran bolas de nieve con una rapidez de 25.0 m/s. La primera es tirado en un ángulo de 70.0° con respecto a la horizontal. (a) En qué ángulo debe la segunda (de bajo ángulo) de la bola de nieve se produce si es a la tierra en el mismo punto que la primera? (b) ¿cuántos segundos más tarde caso de que la segunda bola de nieve se produce si es a la tierra al mismo tiempo como la primera?

Tenga en cuenta que esta no es una tarea problema para mí. Soluciones para esto son todos a través de la web y que se puede encontrar mediante la búsqueda de una estrategia en una pelea de bolas de nieve.

Digamos que el punto a está a la posición inicial y el punto B está en la posición final. La posición final es el mismo para ambos lanzamientos. I. e. hay dos ángulos que resultan en la bola de nieve de aterrizaje en el mismo lugar. Lo que me pregunto es, ¿qué fórmula expresa esta doble solución?

En primer lugar voy a encontrar una expresión que implique th y t de una de las fórmulas estándar para la x componente de la posición, velocidad y aceleración. (La notación /. (3) significa "sustituir el uso de la ecuación (3)"):

            xB = xA + vxA t + 1/2 ax t^2            (1)

            vxA = vA cos(th)                        (2)

            xA = 0                                  (3)

            ax = 0                                  (4)

(1):        xB = xA + vxA t + 1/2 ax t^2

/. (2)      xB = xA + vA cos(th) t + 1/2 ax t^2

/. (3)      xB = vA cos(th) t + 1/2 ax t^2

/. (4)      xB = vA cos(th) t                       (1.1)

Ahora, para el componente y:

            yB = yA + vyA t + 1/2 ay t^2            (5)

            yA = 0                                  (6)

            yB = 0                                  (7)

            vyA = vA sin(th)                        (8)

(5):        yB = yA + vyA t + 1/2 ay t^2

/. (6)      yB = 0 + vyA t + 1/2 ay t^2

/. (7)      0 = 0 + vyA t + 1/2 ay t^2

/. (8)      0 = 0 + vA sin(th) t + 1/2 ay t^2

            - vA sin(th) t = 1/2 ay t^2     (5.1)

Así que tenemos dos ecuaciones y dos incógnitas; ecuaciones (1.1) y (5.1) con las dos incógnitas th y t.

Puedo resolver las de 'th' y 't', pero no estas ecuaciones rendimiento de dos soluciones para la 'th' y 't'? Lo que me estoy perdiendo?

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Actualización en respuesta a la respuesta por zhermes

Aquí voy a resolver la ecuación (1.1) para t y sustituir en (5.1):

(1.1):      xB = vA cos(th) t

t           xB / vA / cos(th) = t               (1.2)

(5.1):      - vA sin(th) t = 1/2 ay t^2

            - vA sin(th) = 1/2 ay t

/. (1.2)    - vA sin(th) = 1/2 ay xB / vA / cos(th)

            - vA^2 2 sin(th) cos(th) = ay xB

double angle formula:

            - vA^2 sin(2 th) = ay xB

            sin(2 th) = - ay xB / vA^2          (5.2)

            th = arcsin(- ay xB / vA^2) / 2     (5.3)

Buscando en la ecuación (5.2), sí, es claro que desde sin(2 th) es simétrica alrededor de 45 grados, habrá dos respuestas si th está en (0, 45) o (45, 90).

Answer 1

Si usted resuelve $t$ en Eq. (5.1), y un enchufe que en la ecuación (1.1), verás que la solución se parece a $x_B \propto v_A^2 sin(\theta) cos(\theta)$. La función de la derecha es simétrico con respecto al $\pi/4$, por lo tanto, mientras $\theta$ no es igual a $\pi/4$, no va a ser de dos soluciones (de forma simétrica sobre $\pi/4$). Por supuesto, en general, podría ser de una, dos o ninguna solución (ver figura de abajo).

Mientras que usted tiene de 2 ecuaciones y 2 incógnitas, las funciones periódicas introducir algunos degeneración en el problema---permitiendo a múltiples soluciones.