Total media de la curvatura de una inmerso toro.

Question

Cómo probar que el total de la media de la curvatura de una inmerso toro de $R^3$ tal que ha trivial auto-intersección debe $> 8 \pi$? La definición de total media curvatura es la integral de la $H^2$ sobre el inmersos colector, donde H es la media de la curvatura. No tengo ninguna idea sobre esto.

Answer 1

Li y Yau (1982): Si no está incorporado, a continuación,$\mathcal{W(\Sigma)}\geq{8\pi}$.

Fix $v\in\mathbb{R}^4$ y considere el campo vectorial $x=v^\perp(x)$, dada por: proyección en $T_x\mathbb{S}^3$.

Es una de conformación de la matanza de campo vectorial en $\mathbb{S}^3$ y genera un flujo de $\phi_t$ de centrado dilataciones. Por invariancia conforme de Willmore de energía,

$$\mathcal{W(\Sigma)}=\mathcal{W(\phi_t(\Sigma))}=\int_{\phi_t(\Sigma)}(1+H^2_{\phi_t(\Sigma)})d\phi_t(\Sigma)\geq\hbox{area}(\phi_t(\Sigma))$$

Si elegimos $v\in\Sigma$ y deje $t\longrightarrow\infty$, tenemos $\mathcal{W(\Sigma)}\geq{4}\pi$. En el caso de $F:\Sigma\longrightarrow{\mathbb{S}^3}$ es de la inmersión y la $p\in\Sigma$ corresponde a que $F^{-1}(p)=k$%, $\mathcal{W(\Sigma)}\geq{4\pi}$k.

Answer 2

Para cada liso inmerso torus $M$ $\mathbb{R}^3$

$$\int_MH^2dA≥ 2π^2$$.

http://en.wikipedia.org/wiki/Willmore_conjecture