Resolver una ecuación diferencial

Question

Bien, entonces, se supone que debo resolver la ecuación diferencial $$\frac{dy}{dx} = \frac{y+2x}{y-2x}$$ haciendo la sustitución $y = ux$ para que la ecuación sea separable. Entonces $$\frac{dy}{dx} = u + x\frac{du}{dx},$$ lo que cambia la ecuación a $$\frac{1}{x} dx = \frac{2-u}{u^2-3u-2}du,$$ y luego integrando obtengo $$\ln|x|+C = \frac{1}{2\sqrt{17}} \left[ (1-\sqrt{17}) \ln\,\left| u-\frac{3+\sqrt{17}}{2}\right| - (1+\sqrt{17}) \ln\, \left|u-\frac{3-\sqrt{17}}{2} \right| \right].$$

Suponiendo que lo haya hecho correctamente, mi pregunta es: si vuelvo a sustituir por $u \ldots$ ¿es eso? No creo que pueda aislar $y$ de esto, y Wolfram|Alpha parece estar de acuerdo conmigo. Es decir, ¿es aceptable esta solución implícita?

Sin embargo, esta no es toda la historia; he encontrado dos soluciones lineales, $$y = \left(\frac{3 \pm \sqrt{17}}{2}\right)x,$$ a la ecuación diferencial esencialmente mostrando que $d^2y/dx^2 \rightarrow 0$ como $x\rightarrow\pm\infty$ y luego subtitular $y=Ax$ . Sin embargo, a pesar de que dio soluciones correctas, no puedo responder por la validez de este método, ya que yo ya sabía que esas eran correctas e inventé algún método fantasioso para derivarlas... Si esto tiene algún valor, alguna instrucción básica sería enormemente apreciada.

Answer 1

Estas soluciones son las mismas que ${\displaystyle u = {3 \pm \sqrt{17} \over 2}}$ que son las soluciones constantes de ${\displaystyle x{du \over dx} = {-u^2 + 3u + 2 \over u - 2}}$ . Desaparecen cuando escribes ${\displaystyle {1 \over x} dx = {2 - u \over u^2 - 3u - 2}du}$ porque corresponden a cuando el denominador del lado derecho es idénticamente cero.

En este tipo de situaciones hay que tener en cuenta esos valores constantes de $u$ por separado y comprobar si se corresponden con las soluciones de la ecuación diferencial original, y a menudo lo hacen.