Una Mejor Prueba para el converso de Cauchy Teorema de los Rectángulos?

Question

Así que la pregunta pide demostrar la siguiente: "Demostrar que si f es continua y un complejo de valores de la función en el abierto subconjunto G del plano complejo, y si la integral de $f(z)dz = 0$ sobre cada rectángulo R, con aristas paralelas a los ejes de coordenadas de la figura con su interior en G, entonces f es holomorphic" (Sarason Función Compleja Teoría de la 2ª edición).

Siguiendo la lógica de que el libro se utiliza para mostrar esto era cierto para triangular las regiones, se me ocurrió esto, aparentemente de manera indirecta de la prueba, que sé que funciona, pero parece muy rotonda. Básicamente el libro es la otra dirección para los triángulos, así que sólo puedo modificar esa prueba y, a continuación, el libro utiliza el triángulo teorema a probar del Teorema de Cauchy para una región convexa. Es fácil sustituir el rectángulo teorema, para el triángulo teorema. Aunque me alegro de que esto funciona, y de su casi directamente levantado en el libro de texto es de más de 2 páginas, así que me preguntaba si un enfoque más directo podría ser encontrado.

Prueba Resumen: "Nuestro enfoque será la primera que si f es holomorphic la integral alrededor de cada rectángulo de $f(z)dz$ es igual a 0. Vamos, a continuación, aplicar este hecho para demostrar que del Teorema de Cauchy para una región convexa. Una vez completado esto, podemos notar que esta nueva prueba de Cauchy Teorema nos permite decir, que si f tiene integral de cero a la vuelta de cada rectángulo contenido en G, f tiene una primitiva en G. Si f tiene una primitiva de G, es holomorphic."

Edit: También estaba pensando que ya que hemos pasado a través de la prueba en el libro de texto y funciona para los triángulos, si podemos de alguna manera de dividir el rectángulo en 2 triángulos y mostrar que la integral alrededor de cada uno de estos triángulos es igual a cero, entonces el resto se sigue de que el libro de derivaciones a base de triángulos, aunque sinceramente esto parece muy difícil de hacer.

Answer 1

Este es un teorema, es decir, que no tiene que preocuparse acerca de los agujeros en $G$ y puede suponer $0\in G$. Definir dos funciones $F$$G$, en el barrio de $0$ como sigue: $z=x+iy$ poner $$F(z):=\int_0^x f(z')\ dz' +\int_x^{x+iy} f(z')\ dz'=\int_0^x f(t)\ dt +i \int_0^y f(x+it)\ dt\ ,$$ $$G(z):=\int_0^{iy}f(z')\ dz'+\int_{iy}^{x+iy} f(z')\ dz'=i \int_0^y f(it)\ dt +\int_0^x f(t+iy)\ dt\ .$$ Esto equivale a la integración de $f(z')\ dz'\ $ a lo largo de dos diferentes en forma de L en las trayectorias de $0$$z$. Como $\int_{\partial R}f(z)\ dz=0$ para todos los rectángulos $R$ se sigue que $F(z)=G(z)$, y esto es cierto para todos los $z$, en el barrio de $0$.

Por definición de $F$ ha $F_y(z)=i f(z)$, y a partir de la definición de $G$ llegamos a la conclusión de que $F_x(z)=G_x(z)= f(z)$. Esto significa que (a) la función de $F$ tiene derivadas parciales continuas y (b) que estos derivados satisfacer las Cauchy-Riemann ecuaciones. Por lo tanto, $F$ es un holomorphic función de $z$, en el barrio de $0$. Ya tenemos $F'=F_x=f\ $ la función de $f$ es holomorphic allí también.