Deje $f(x)$ ser un valor real de la función de con $c$ en su dominio. Dado
1. $f(c)=0, $
2. $f$ no es idénticamente cero en el intervalo acerca de $c$, y
3. $f$ es diferenciable en a $c$.
Reclamo:
una. Si $f(x)$ cambia de signo en$c$, $f'(x)$ no cambia de signo en $c$.
b. Si $f(x)$ no cambia de signo en$c$, $f'(x)$ cambia de signo en $c$.
Cómo iba yo a ir a probar esta afirmación?
Pensamientos:
La principal dificultad que tengo con esta pregunta es que no puedo expresar "cambio de signo" de una manera con derivados que hace que este resultado susceptible de una prueba que puede venir para arriba con.
El significado preciso de "cambio de signo" pensé es:
$f(x)$ cambia de signo en $c$ si existe un conjunto abierto $S$ contiene $c$ tal que para todos los $y\in S$ y $y<c$, $f(y)$ es positivo (negativo) y para todos los $y\in S$ y $y>c$, $f(y)$ es negativo (positivo).
También es claro que: Si $f(x)$ cambia de signo en $c$, $f(c)=0$, pero el recíproco no es cierto.
Sugerencias se agradece.
