Evaluar $\int_0^\pi xf(\sin x)dx$

Question

Deje $f(\sin x)$ ser una función dada de $\sin x$.

¿Cómo puedo demostrar que $\int_0^\pi xf(\sin x)dx=\frac{1}{2}\pi\int_0^\pi f(\sin x)dx$?

Answer 1

Si hacemos la sustitución de $w = \pi-x$, por lo que el $dw = -dx$, se obtiene $$\int_0^\pi xf(\sin x)dx=-\int_\pi^0 (\pi-w)f(\sin(\pi-w))dw$$ $$ = \int_0^\pi (\pi-x)f(\sin(x))dx$$ $$ = \pi\int_0^\pi f(\sin(x))dx - \int_0^\pi xf(\sin(x))dx$$ lo que da el resultado que usted desea.

Answer 2

$\int_0^\pi xf(\sin x)d$

=$\int_0^\pi (\pi-x)f(\sin (\pi - x))dx$

= $\int_0^\pi (\pi-x)f(\sin x)dx$

= $\pi\int_0^\pi f(\sin x)dx$ - $\int_0^\pi xf(\sin x)dx$

$2\int_0^\pi xf(\sin x)d$ = $\pi\int_0^\pi f(\sin x)dx$

$\int_0^\pi xf(\sin x)d$ = $\frac{\pi}{2}\int_0^\pi f(\sin x)dx$

Yo estoy usando esta fórmula, $\int_a^b f(x)dx$ =$\int_a^b f(a+b-x)dx$