Mostrando que $\displaystyle\lim_{s \to{1+}}{(s-1)\zeta(s)}=1$

Question

Necesito probar lo siguiente: ($\zeta(s)$ es la de Riemann zeta función)

$\displaystyle\lim_{s \to{1+}}{(s-1)\zeta(s)}=1$

La verdad, no sé, lo he intentado, pero nada más por ahora.

Answer 1

Sugerencia: $$ \zeta(z)(1-2^{1-z})=1^{z}-2^{z}+3^{z}-4^{z}+\dots $$ Por lo tanto, $$ \lim_{z\1}(z-1)\zeta(z)=\lim_{z\1}\frac{z-1}{1-2^{1-z}}\ \lim_{z\1}\,(1^{z}-2^{z}+3^{z}-4^{z}+\dots) $$ Nota añadida: $1^{-z}-2^{-z}+3^{-z}-4^{-z}+\dots$ converge para $\mathrm{Re}(z)\gt0$, proporcionando de este modo una continuación analítica de $\zeta$ a toda la mitad derecha del plano-con la excepción de $z=1$.

Answer 2

Sugerencia: aproximación de la serie de $\zeta(s)$ por encima y por debajo por las integrales.

Answer 3

Skectched prueba (creo que algo como esto puede ser lo que Antonio significado):

$$\text{For}\;\;x>0\,,\,s>1\;,\;\; f(x):=\frac1{x^s}\;\;\text{is monotone descending}$$

$$\text{For}\;\;n\in\Bbb N\;,\;\;\min_{x\in[n,n+1]}\frac1{x^s}\le\int\limits_n^{n+1}\frac{dx}{x^s}\le\max_{x\in[n,n+1]}\frac1{x^s}\implies$$

$$\frac1{(n+1)^s}\le\frac1{1-s}\left(\frac1{(n+1)^{1-s}}-\frac1{n^{1-s}}\right)\le\frac1{n^s}$$

Suma más de $\,n\in\Bbb N\,$ (Nota de la telescópico de la serie!):

$$\sum_{n=1}^\infty\frac1{(n+1)^s}\le\frac1{1-s}\sum_{n=1}^\infty\left(\frac1{(n+1)^{1-s}}-\frac1{n^{1-s}}\right)\le\sum_{n=1}^\infty\frac1{n^s}\implies$$

$$\zeta(s)-1\le\frac1{s-1}\le\zeta(s)\implies1\le(s-1)\zeta(s)\le s$$

y el teorema del sándwich y hemos terminado.