Supongamos que yo estoy mirando para resolver la función de onda para el siguiente 1D potencial: $$U(x) = \begin{cases}V_0\frac{a-|x|}{a}&\quad\text{for}\quad|x|<a \\\infty&\quad\text{for}\quad|x|>a\end{casos} \etiqueta{1}$$ Desde nuestro potencial es simétrica, tenemos pares e impares soluciones y así podemos resolver el sistema para a $x\ge 0$ y después de la construcción de la solución completa para $\psi_{even}$ o $\psi_{odd}$. Para la región dentro del pozo, se puede convertir el tiempo independiente de Schrödinger eq. en una forma que es la ecuación diferencial de Airy (tenga en cuenta que se trata de un lineal de potencial), es decir, $$\frac{d^2\psi}{dz^2}-z\psi = 0, \tag{2}$$ donde $$z\equiv Q(1 - \eta), \tag{3}$$
donde
$$\eta = \frac{x}{a_0}, \ \ \ Q = \frac{2mV_0a_0}{\hbar^2a}, \ \ \ a_0 \equiv a-\frac{a}{V_0}E. \tag{4}$$
Por lo tanto podemos expresar $\psi$
$$\psi(z) = C_1Ai(z)+C_2Bi(z). \tag{5}$$
Nuestras condiciones de contorno nos dicen: $$\psi(\zeta_a) = 0 \tag{6}$$ $$\psi(\zeta_0) = 0\quad\text{for}\quad\psi_{odd} \tag{7}$$ $$\psi'(\zeta_0) = 0\quad\text{for}\quad\psi_{even} \tag{8}.$$
donde estoy denotando $\zeta_0= z|_{x=0}$$\zeta_a= z|_{x=a}$.
Pregunta: ¿este sistema Es exactamente solucionable?
Por lo general sólo tiene un cero en condición de contorno en estos tipos de problemas, que nos permite cuantización de los niveles de energía a través de los ceros de la función de Airy. Pero aquí debemos satisfacer simultáneamente dos cero las condiciones de contorno. Para aclarar, aquí está nuestro sistema de ecuaciones lineales.
$\psi_{odd}$: $$C_1Ai(\zeta_0)+C_2Bi(\zeta_0) = 0 \tag{9}$$ $$C_1Ai(\zeta_a)+C_2Bi(\zeta_a) = 0 \tag{10}$$
$\psi_{even}$: $$C_1Ai'(\zeta_0)+C_2Bi'(\zeta_0) = 0, \tag{11}$$ $$C_1Ai(\zeta_a)+C_2Bi(\zeta_a) = 0. \tag{12}$$
Mi propuesta sería la de resolver para el cero el determinante de la homogeneidad de las ecuaciones lineales, pero esto me obligaría a una solución numérica. Me gustaría encontrar las energías en términos de los ceros de las funciones de Airy. Ideas?
