Es un enorme tema, pero brevemente:
Mentira grupos suave grupos. Técnicamente, la Mentira de los grupos son conjuntos que son a la vez suave colector, como una esfera, por ejemplo, y también tienen una estructura de grupo (operador de multiplicación, inversas, y una identidad). El grupo de la multiplicación y la inversa debe ser suave (diferenciable) funciones en el colector.
Como usted ha mencionado, el grupo de rotaciones en el espacio 3-dimensional, llamado ASÍ(3), es un ejemplo de una Mentira grupo. Las rotaciones tienen una estructura de grupo porque se puede componer o invertir rotaciones y otras rotaciones, y son también un suave colector debido a que usted fácilmente puede variar el eje o el ángulo y por lo tanto, moverse continuamente de un giro a otro.
Hay muchos otros ejemplos de la Mentira de los grupos. Muchos tipos de transformaciones geométricas en diferentes espacios de la forma de la Mentira de los grupos. Que se muestran en la física en las transformaciones del espacio-tiempo (el grupo de Poincaré, más en general), y en los llamados "internos simetrías" que transforman los diferentes campos cuánticos en cada uno de los otros (a menudo especial unitaria grupos de varias dimensiones). Otro ejemplo es diffeomorphism grupos, que se muestran en la relatividad general y la teoría de las cuerdas y se encuentran también grupos.
Como para Mentir álgebras, están estrechamente relacionados con la Mentira de los grupos. Una Mentira álgebra
básicamente consiste en la "infinitesimal elementos" de una Mentira grupo, es decir los "elementos infinitesimalmente cerca de la identidad". (Puse que en asustar comillas porque en el estándar de análisis infinitesimal elementos no realmente existen-técnicamente, una Mentira álgebra se define en el espacio de la tangente de la Mentira de grupo en la identidad. Aún así, la imagen de los elementos infinitesimales es una útil e intuitiva forma de pensar acerca de esto.)
Por ejemplo, en el caso de las rotaciones, estaríamos hablando de rotaciones alrededor de cualquier eje infinitesimal ángulos.
Cuando se multiplican dos elementos del grupo que están muy cerca de la identidad, la multiplicación del grupo se ve como una suma de vectores-básicamente de la misma manera que $(1+\delta)(1+\epsilon) \approx 1 + (\delta + \epsilon)$ al $\delta$ $\epsilon$ son pequeñas. Del mismo modo, $(1+\epsilon)^{-1} \approx 1 - \epsilon$, por lo que el grupo de inversión se ve como vector de la negación. Así que la Mentira álgebra hereda sus operaciones a partir de los de la base de la Mentira de grupo, pero no a sí misma look de un grupo, sino que se ve como un espacio vectorial.
La Mentira de álgebra tiene también, además de la estándar de espacio vectorial operaciones, un bilineal operación llamada la Mentira de soporte, denotado $[x, y]$ (donde $x, y$ son dos vectores en el álgebra de la Mentira y $[x, y]$ genera otro vector). Esta operación medidas de "cómo no conmutativa" la Mentira de grupo es, a grandes rasgos, se corresponde con el colector $[A, B] = AB - BA$ de la Mentira de grupo.
Ahora, la cosa interesante y divertida sobre un álgebra de la Mentira es que aunque se deriva de sólo una minúscula porción de una Mentira grupo, que contiene, codificado dentro de ella, casi todo lo que hay que saber sobre el grupo que vino! En realidad se puede reconstruir toda la Mentira del grupo, desde la Mentira de álgebra, mediante el uso de la exponencial mapa-una generalización de la ordinaria de la función exponencial.
(Es casi , porque hay algunos casos en los que diferentes Mentira grupos tienen la misma Mentira de álgebra, pero diferentes estructuras globales-por ejemplo, PARA(3) y SU(2).)
Y desde álgebras de Lie son espacios vectoriales, y la Mentira de soporte es una operación bilineal, todo lo que realmente necesitan es un conjunto de vectores de la base por la Mentira, el álgebra y saber lo que la Mentira de soporte que hace a cada par de vectores de la base.
Un conjunto de vectores de la base se denomina un conjunto de generadores del grupo. Si se aplica la Mentira de soporte para cada par de generadores y anote la resultante de los vectores como las coordenadas en la misma base, el conjunto de números que obtienes son llamados constantes de estructura.
De los generadores y la estructura de las constantes, se puede generar el álgebra de la Mentira y de allí toda la Mentira de grupo (a excepción de las ambigüedades de la estructura global como se mencionó anteriormente)! Esto hace que álgebras de Lie una herramienta muy poderosa para la comprensión de la Mentira de los grupos que se muestran en la física. Por ejemplo, en la física de partículas, los bosones de gauge (fotones, W, Z, gluones) están estrechamente relacionados con los generadores de simetría interna de los grupos; el impulso y momentum angular están relacionados con los generadores del grupo de Poincaré, y así sucesivamente.
No hay mucho más que podría decirse acerca de esto-ni siquiera he mencionado representaciones!-pero esta es, probablemente, suficiente para una respuesta, lo voy a dejar aquí. :)
