La evaluación de algunos de los Límites de las sumas de Riemann.

Question

Realmente tengo dificultades con las Sumas de Riemann, especialmente los que son como a continuación:

$$\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\cdots+\frac{1}{3n}\right)$$ Cuando intento escribir esto como una suma, se convierte en $$\frac { 1 }{ n } \sum _{ k=1 }^{ 2n } \frac { 1 }{ 1+\frac { k }{ n } } .$$ The problem is, however, to be able to compute this limit as an integral I need to have this sum from $1$ to $$ n. Hay algunas otras preguntas como esta, pero si yo lo entiendo, voy a ser capaz de resolver que otros.

Answer 1

$$ \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{2n} \frac{1}{1+\frac{k}{n}}= \sum f(x_k)\,\Delta x. $$ donde$f(x) = \dfrac{1}{1+x}$$\Delta x = \dfrac 1 n$. La variable va de $1/n\to0$$(2n)/n=2$. Por lo tanto la suma de los enfoques $$ \int_0^2 \frac{1}{1+x}\,dx. $$

Answer 2

Podemos reescribir nuestra expresión como $$\frac{1}{2n}\sum_{k=1}^{2n}\frac{2n}{n+k}$$ y entonces, como $$\frac{1}{2n}\sum_{k=1}^{2n}\frac{1}{\frac{1}{2}+\frac{k}{2n}}.$$ Esta es una suma de Riemann para $$\int_0^1 \frac{1}{\frac{1}{2}+x}\,dx.$$ La integral, y por lo tanto el límite deseado, es $\ln(3/2)-\ln(1/2)$ o, más sencillamente $\ln 3$.

Answer 3

Con Eulero-Mascheroni : $$\sum_{k = 1}^{n}\frac{1}{k} - \log{n} \rightarrow \gamma$$ $$\sum_{k = 1}^{3n}\frac{1}{k} - \log{3n} \rightarrow \gamma$$ so $$\sum_{k = n+1}^{3n}\frac{1}{k} - \log{3n} +\log{n} \rightarrow 0$$ and then$$\sum_{k = n+1}^{3n}\frac{1}{k} \rightarrow \log{3}$$