Si el segundo derivados $f_{xx}$ $f_{yy}$ existen, qué $f_{xy}$ existen?

Question

Si la segunda derivada con respecto a a $x$ existe ($f_{xx}$) y la segunda derivada con respecto a $y$ ($f_{yy}$), de lo anterior se sigue que el $f_{xy}$ existe?

Answer 1

La respuesta general es

• Sí, si el segundo derivados $\:f_{xx}$ $\:f_{yy}$ son continuos, y
• No (no necesariamente), si $\:f_{xx}$ $\:f_{yy}$ son discontinuos.

---

Para tu caso específico de una aclaración es necesaria.

Si al decir "segunda derivados $\:f_{xx}$ $\:f_{yy}$ existen en un punto de $P$" quiere decir que el correspondiente a la derecha y a la izquierda de los límites existen y son iguales, es decir, para un punto de $P = (x,y)$

$$\lim\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{f_x(x + \Delta x,y) - f_x(x , y)}{\Delta x} = \lim\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{f_x(x,y) - f_x(x - \Delta x, y)}{\Delta x} \etiqueta{1a}$$ y $$\lim\limits_{\Delta y \to 0} \dfrac{f_y(x,y + \Delta y) - f_y(x , y)}{\Delta y} = \lim\limits_{\Delta y \to 0} \dfrac{f_y(x,y) - f_y(x, y - \Delta y)}{\Delta y}, \etiqueta{1b}$$ entonces SÍ, $\ f_{xy}$ existe, como las condiciones de $\eqref{1a}$ $\eqref{1b}$ implica que $f_{xx}$ $f_{yy}$ son continuas en a $P$.

---

Demostrando primer caso , no es difícil. Uno escribe algo como

Para cualquier función de $f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ continuo con el segundo derivadas parciales en un punto de $P = (x,y)$ tenemos $f_{xy} = f_{yx}$ (Schwartz-teorema de Clairaut). Eso significa que el orden en que se diferencian con respecto a diferentes variables no importa. La existencia y la continuidad de la $f_{yy}$ implica que se puede diferenciar la función $f$ al menos una vez w.r.t. $y$ y preservar la continuidad. Del mismo modo, llegamos a la conclusión de que podemos diferenciar $f$ al menos una vez w.r.t. $x$ y preservar la continuidad. Estas dos operaciones son independientes, por lo que el resultado de la aplicación de ambos a $f$ todavía será continua, es decir, el correspondiente a la derecha y a la izquierda de los límites existen y son iguales. Eso significa que $f_{xy}$ existe y es continua en el punto de $P$.

Como para el segundo caso, se puede dar un contraejemplo. Por ejemplo, suponga $P = (0,0)$ y considerar la función

$$f(x) = \begin{cases} \dfrac{xy(x^2-y^2)}{x^2+y^2} & \text{for } \ (x,y) \neq P,\\ (0,0) & \text{for } \ (x,y) = P. \end{casos}$$

Claramente $f$ es continua en a $P=(0,0)$, pero su segunda derivadas parciales no son.