Estoy preparando una presentación sobre una visión general de la topología algebraica y diferencial, y mi introducción incluye algún material de motivación sobre Teoría de los grados . Hasta ahora tengo dos consecuencias matemáticas fundamentales e inestimables de esta teoría:
¿Se le ocurre alguna otra?
La teoría de grados es un tema muy interesante en topología diferencial/geometría. Creo que deberías echar un vistazo a los capítulos 11 y 12 del libro de Madsen - "Del cálculo a la cohomología" donde se desarrolla la mayor parte de la teoría. En particular tienes conceptos muy interesantes que relacionan el grado proveniente de la cohomología con el índice de un campo vectorial , Mapas de Gauss y números de enlace y resultados como el Teorema del índice de Poincaré-Hopf que está relacionado también con el Teorema de Gauss-Bonnet . En los capítulos 4, 5 y 6 del libro fundamental de Milnor - "Topología desde el punto de vista diferenciable" . Una teoría muy completa del grado de un mapa con casi todas sus aplicaciones importantes se encuentra en el capítulo 3 de Dubrovin/Fomenko/Novikov - "Geometría moderna: Métodos y Aplicaciones Vol. II" . Hay un nuevo y emocionante libro centrado completamente en la teoría de los grados: Outerelo/Ruiz - Teoría del grado de mapeo donde se desarrolla en detalle la mayor parte de esta teoría.
El grado de un mapa $f:M\rightarrow N$ entre las variedades cerradas orientadas conectadas de la misma dimensión, en un valor regular $y\in N$ puede definirse fácilmente como el número entero dado por los signos de las orientaciones inducidas por el mapa pushforward $f_{\ast}|_{x_i}:T_{x_i}M\rightarrow T_{y}N$ en los puntos de la preimagen (de cantidad finita por estar aislados ( $f$ es un difeomorfismo local por el teorema de la función inversa) y por compacidad de $M$ ): $$ \deg f :=\sum_{x_i\in f^{-1}(y)}\text{sgn}(\det f_{\ast}|_{x_i}) $$
El grado es independiente del valor regular $y$ y sólo depende de la clase de homotopía de $f$ . A la inversa, para el caso de dos mapas suaves $f,g:M\rightarrow\mathbb{S}^n$ son homotópicas si $\deg f= \deg g$ .
Para las variedades complejas $M,N$ y holomorfo $f$ , si $\deg f=q$ entonces $q\geqslant 0$ y cualquier valor regular $y\in N$ tiene exactamente $q$ preimágenes.
Se puede demostrar que esta definición de grado coincide con la dada por el número que relaciona los isomorfismos que tienen las cohomologías n-de Rham con $\mathbb{R}$ por integración y que están relacionados por $H^n(f)$ el mapa inducido entre las clases de cohomología dadas por el pull-back $f^{\ast}:\Omega^n(N)\rightarrow\Omega^n(M)$ :
En particular, el índice de un campo vectorial con sólo ceros aislados, en un punto $p_0$ en el colector se define en términos del grado del Mapa de Gauss $G_{p_0}:\partial D_{\epsilon}(p_0)\rightarrow S^m$ que toma una vecindad de ese punto y mapea cada vector unitario del campo en el límite de la vecindad en la esfera unitaria de la dimensión apropiada (y se demuestra que no depende de la $D$ ). Esto permite definir un índice total de un campo vectorial teniendo en cuenta todos los ceros aislados: $$ \text{Index}(X,p_0):=\deg G_{p_0}\Rightarrow \text{Index}(X):=\sum_{p_i\in \text{Zero}(X)}\deg G_{p_i}. $$
Este índice está relacionado con el Características de Euler-Poincaré dado, por ejemplo, en términos de cohomología de Rham $\chi(M)=\sum_{i=0}^n (-1)^i h^i(M,\mathbb{R})$ o la homología singular $\chi(M)=\sum_{i=0}^n (-1)^i b_i(M)$ por el Teorema de Poincaré-Hopf $$\chi(M)=\text{Index}(X)=\deg \mathcal{G}_X$$ donde este índice total se relaciona además con el grado del mapa de Gauss $\mathcal{G}_X$ sobre un compacto que rodea todos los ceros aislados de $X$ . Por lo tanto, es independiente del campo vectorial elegido $X$ y sólo depende de la topología del colector. Este tipo de resultados tiene consecuencias divertidas como la teorema de la bola peluda .
Además, estos índices también están relacionados con Funciones Morse que dan el famoso resultado $\chi(M)=2-2g$ para 2manifolds orientados cerrados de género $g$ .
Un concepto similar se define para el índice en una hipersuperficie general que conduce a la célebre Teorema de Gauss-Bonnet un resultado maravilloso que relaciona el total Curvatura gaussiana de un 2manifold orientado cerrado $M^2_g$ con todos los conceptos anteriores: $$ 2\deg G=\frac{1}{2\pi}\int_{M^2_g} K d\sigma=\text{Index}(X)=\chi(M^2_g)=2-2g $$ donde aquí el $G$ es el mapa de Gauss $G:M^2_g\rightarrow S^2$ y el toro g $M^2_g$ puede pensarse como incrustado en $\mathbb{R^3}$ . Este resultado culmina con el general Teorema de Chern que relaciona toda la teoría con las clases características y las dimensiones superiores.
También se puede demostrar que el índice total coincide con el llamado índice de intersección $M(0)\circ M(X)=\text{Index(X)}$ de los dos submanifolds del haz tangente $TM$ dada por las incrustaciones de $M$ en $TM$ con el campo vectorial dado como sección. Utilizando este concepto de índice de intersección se puede llegar por un camino diferente al de la homología a la Número de Lefschetz $\Lambda_f:=\sum_i (-1)^i\text{Tr}(H_i(f))$ y por lo tanto a la Teorema del punto fijo de Lefschetz que generaliza el Teorema del punto fijo de Brower :
Y toda esta teoría de puntos fijos está relacionada con la geometría por Gauss-Bonnet, con la topología por Poincaré-Hopf y con todas las aplicaciones de grado mencionadas anteriormente por el siguiente resultado fundamental: $$ \Lambda_{\text{Id}}=\chi(M). $$
Por lo tanto, creo que la teoría de grados, con todas sus interconexiones particulares, es un concepto omnipresente y fundamental dentro de algunos de los resultados más importantes y hermosos de la topología diferencial y la geometría. Merece la pena estudiarlo y ser capaz de relacionar todo con todo lo demás.
Trabajando con curvas planas se obtiene la noción de números de Whitney (auto-intersecciones con signo) e incluso se puede demostrar el teorema fundamental del álgebra utilizando esto. También, números de enlace que miden algunas características de los nudos de los submanifolds de codimensión complementaria están relacionados con los grados de los mapas similares a los de Gauss.
Para todo esto y más, consulte los capítulos que mencioné de los libros al principio.
Espero que os haya gustado este breve resumen porque a mí me costó mucho tiempo cuando lo estudié entender cómo estaba todo montado. :-D
DIGRESIÓN ADICIONAL para divertirse:
Hay conexiones aún más interesantes y profundas en la teoría de los grados. Lo que he mencionado anteriormente es toda la teoría del grado de Brower de un mapa entre variedades que conduce al índice de campos vectoriales, a los mapas de Gauss y a los importantes teoremas de los que he hablado.
Pero, ¡hay aún más! Gauss-Bonnet y Poincaré-Hopf son el caso interesante de las variedades bidimensionales orientables compactas de género topológico $g$ , $M^2_g$ que por el teorema de clasificación de superficies todos son esferas con $g$ asas. Pero se puede dar una estructura compleja holomorfa precisamente para estas variedades, haciéndolas unidimensionales colectores complejos y así llegamos al maravilloso tema de Superficies de Riemann y el análisis complejo. Pero todos ellos son integrables en espacio complejo proyectivo por Teorema de Chow y, por lo tanto, se puede demostrar que es equivalente al estudio del complejo proyectivo curvas algebraicas .
En este entorno, estos grandes resultados expresados por la teoría de grados pueden relacionarse con otro resultado extremadamente importante de la geometría algebraica que también es un teorema del índice : Teorema de Riemann-Roch para curvas : $$ \dim\mathcal{L}(D)-\dim\mathcal{L}(\mathcal{K}-D)=\deg (D) + 1- g $$ Esto relaciona la dimensión del espacio vectorial $\mathcal{L}(D)$ de funciones meromórficas en la superficie de Riemann con ceros prescritos y polos de órdenes (limitados por) $n_i\in\mathbb{Z}$ en los puntos $P_i$ dado por un divisor $D=\sum n_i P_i$ con el grado del divisor $\deg (D)=\sum n_i$ y el género $g$ . En realidad, hay un término de corrección adicional que implica el divisor canónico $\mathcal{K}$ que representa el divisor dado por los ceros y los polos de una forma 1 meromorfa en la curva algebraica/superficie de Riemann haciendo que todo esto esté muy entrelazado con paquetes de líneas (en cuyo lenguaje se puede reformular Riemann-Roch).
El resultado notable es que, dado que las curvas algebraicas complejas proyectivas son superficies de Riemann compactas, nuestros teoremas de Gauss-Bonnet y Poincaré-Hopf pueden aplicarse considerándolas con la estructura real lisa subyacente. PERO! El teorema de Gauss-Bonnet es el caso bidimensional de Teorema de Chern escrito en la lengua de clases características utilizando el Clase Euler del haz tangente $e(TM)$ de la superficie o la primera Forma de Chern también $$ \chi(M^2_g)=\int_{M^2_g}c_1(TM^+)=\int_{M^2_g}e(TM^2_g)=\frac{1}{2\pi}\int_{M^2_g}R_{1212}d\theta^1\wedge\theta^2=\frac{1}{2\pi}\int_{M^2_g}Kd\sigma $$ donde $R_{1212}$ es el componente del Forma de curvatura de Riemann y $K$ el curvatura gaussiana y $d\sigma$ la superficie. Cada divisor $D$ en nuestra curva algebraica/superficie de Riemann puede utilizarse para construir un haz de líneas $[D]$ sobre la variedad para la que la primera clase de Chern nos da una definición de grado del haz de linde, ya que satisface que $$ \deg ([D]):=\int_{M^2_g}c_1([D])=\deg (D). $$ A partir de esto se puede demostrar que la curvatura gaussiana de $M^2_g$ está dada por la primera clase de Chern del haz inverso del haz canónico $[\mathcal{K}]^{-1}$ que es un haz tangente holomorfo: $c_1([\mathcal{K}]^{-1})=\frac{i}{4\pi}K\cdot h dz\wedge d\bar{z}$ con $h$ a Métrica hermitiana en el haz de líneas. Pero es un corolario importante de Riemann-Roch obtener el grado del divisor canónico en términos del género mediante $\deg (\mathcal{K})=2g-2$ . Ahora, nuestro viejo concepto de índice de un campo vectorial (real 2-dim) $X$ es en este caso lo que a veces se llama el grado del campo, $\deg (X):=\deg\mathcal{G}_X$ ya que mencionamos anteriormente que el grado del mapa de Gauss sobre un compacto dentro de $M^2_g$ que rodea todos los ceros de $X$ da el mismo resultado. Por lo tanto, hemos llegado a nuestra conexión final de todos los teoremas de índice para 2manifolds orientados compactos; ¡es la reunión de todos los conceptos de grado anteriores relacionando juntos topología, geometría y álgebra! $$ \begin{aligned} \chi (M^2_g)&=\sum_{j=0}^2 (-1)^j\dim H_{j}(M)=\sum_{j=0}^2 (-1)^j\dim H^j_{dR}(M)= \sum_{j=0}^2 (-1)^j\dim \check{H}^j(M,\underline{\mathbb{R}}) \\ &= V-E+F =2-2g= 2\deg\mathcal{G}_X=\sum_{P\in\text{Zero(X)}}\deg G_{P}=\text{Index}(X)= \\ & =\int_{M^2_g}c_1(TM^+)=\int_{M^2_g}e(TM^2_g)=\int_{M^2_g}c_1([D])=\frac{1}{2\pi} \int_{M^2_g}Kd\sigma= \\ &= \deg ([\mathcal{K}]^{-1})=-\deg (\mathcal{K})=\Lambda_{\text{Id}} \end{aligned}, $$
donde hemos explicitado las características de Euler en términos de homología singular , cohomología de Rham y Cohomología de Cech sobre la gavilla constante $\underline{\mathbb{R}}$ que son los tres equivalentes en este caso pero que surgen conceptualmente de construcciones muy diferentes ( triangulaciones simplificadas , formas diferenciales , cohomología de la gavilla ). Así, $V,E,F$ es el número de vértices, aristas y caras de cualquier una buena triangulación de $M^2_g$ , $g$ el número topológico de agujeros de donut y todas las clases características mencionadas, curvaturas, grados de los mapas de Gauss, grado del haz de líneas inverso canónico y del divisor, y el número de Lefschetz del mapa de identidad.
Puede encontrar este tipo de resultados en el capítulo 5 del libro Jost - _"Superficies compactas de Riemann"_ .
Además, el concepto de grado de un divisor $deg (D)$ es en este caso la suma total de las multiplicidades algebraicas de ceros y polos impuestas en los puntos de $D$ . Localmente, nuestro complejo múltiple $M^2_g$ puede ser trazado biholomórficamente por conjuntos abiertos del plano complejo $\mathbb{C}$ donde los puntos de $D$ pueden pensarse como variedades algebraicas de dimensión $0$ con multiplicidades dadas por el grado de los polinomios definitorios adecuados. En general, para las variedades de mayor dimensión, como las curvas y las superficies incrustadas en espacio proyectivo , su grado se define como el número de puntos de intersección contados con multiplicidades que tienen en común con un genérico hiperplano de dimensión la codimensión de nuestra variedad. Por ejemplo, el grado de una curva algebraica en el plano es el número de intersecciones que tiene con una recta genérica y se puede ver fácilmente por el teorema de Bézout que es el grado algebraico de su polinomio definidor (como nuestra intuición sugeriría pensando en el teorema fundamental del álgebra para una función polinómica que interseca el $x$ -eje). Pero las curvas algebraicas son divisores de superficies algebraicas y de ahí se derivan ideas similares, etc. ¡¡Por lo tanto, todos los conceptos de grado vistos hasta ahora parecen estar profundamente relacionados de alguna manera!! Por supuesto, la generalización de Chern-Gauss-Bonnet-Poincaré-Hopf y Riemann-Roch se realiza mediante algunos de los resultados más importantes, generales y potentes en geometría abstracta del siglo XX: el Teorema de Grothendieck-Hirzebruch-Riemann-Roch en el ámbito de la geometría algebraica y el Teorema del índice de Atiyah-Singer en la configuración diferencial.
He añadido esto como una extensión de mi digresión final de mi otra respuesta a esta pregunta, y como complemento a mi respuesta a otra pregunta sobre las diferentes definiciones de grado para el caso de geometría algebraica compleja (por lo que todas las consecuencias que siguen se aplican a las variedades algebraicas proyectivas lisas especificadas sobre los números complejos).
Caracterización del grado de las variedades lineales :
$X_k\subseteq\mathbb{CP}^n$ es un espacio lineal, es decir $X_k\cong\mathbb{CP}^k,\;\Leftrightarrow \; \deg X_k = 1$ .
Desigualdad de grado-dimensión :
Si $X_k\subseteq\mathbb{CP}^n$ es una variedad proyectiva no degenerada (es decir $X\nsubseteq$ hiperplano), entonces $$\deg X_k\geq \operatorname{codim} X_k +1.$$
Caracterización de grado mínimo de las variedades proyectivas :
Dejemos que $X\subset\mathbb{CP}^n$ sea cualquier variedad no degenerada de grado mínimo $\deg X=n-\dim X+1$ (véase más arriba). A continuación, $X$ es una de las siguientes variedades:
- a hersuperficie cuádrica ,
- un cono saliente sobre el Superficie veronesa $\nu_2(\mathbb{CP}^2)\subset\mathbb{CP}^5$ o
- a desplazamiento normal racional .
Teorema débil de Bézout :
Si las variedades $X_k, Y_s\subset\mathbb{CP}^n$ tal que $k+s\geq n$ y se cruzan transversalmente, entonces $$\deg (X\cap Y)=(\deg X)\cdot (\deg Y),$$ en particular si $r+s=n$ la intersección consiste exactamente en $\deg X\cdot\deg Y$ puntos.
Teorema fuerte de Bézout :
Si las variedades $X, Y\subset\mathbb{CP}^n$ se cruzan correctamente, entonces $$(\deg X)\cdot (\deg Y)=\sum_{\substack{X\cap Y=\cup_i Z_i \\ \text{irred. comp.}}} \operatorname{mult}_{Z_i}(X\cap Y)\cdot\deg Z_i,$$ donde $\operatorname{mult}_{Z_i}(X\cap Y)$ es el multiplicidad en el componente irreducible $Z_i$ de la intersección. Así, para las variedades que se reúnen adecuadamente $\deg (X\cap Y)\leq\deg X\cdot\deg Y$ .
Teorema de Wirtinger :
Si $M\subset\mathbb{CP}^n$ es un compacto orientado $2k$ -(si no admite una estructura compleja, no es algebraica, así que $\deg M$ se entiende en el sentido de (co)homología, véase H. más arriba), con la métrica inducida de la Métrica hermitiana del espacio proyectivo y $L_k$ un lineal $k$ -variedad, entonces $$(2k)\text{-vol}(M)\geq |\deg M|\cdot (2k)\text{-vol}(L_k)$$ con igualdad si y sólo si $M$ es una subvariedad algebraica $X$ (teniendo así un volumen mínimo en su ciclo de homología). En particular, el cambio de escala de la métrica para que el lineal $k$ -Los subespacios tienen volumen unitario, el grado de la variedad es sólo su volumen, es decir $$\deg X = \int_{X}\imath^\ast\omega$$ donde $\omega\in H^{n}(\mathbb{CP}^n, \mathbb{C})$ es un forma de volumen para dicha métrica, y $\imath:X_k\hookrightarrow\mathbb{CP}^n$ es la inclusión. Por ejemplo, el área de cualquier 2manifold orientable cerrado (así que para cualquier superficie compacta de Riemann) en esta métrica es sólo su grado como curva algebraica proyectiva.
Fórmula del género aritmético de grado :
El género aritmético de una variedad $X_k\subset\mathbb{CP}^n$ definido a partir de su El polinomio de Hilbert término constante como $p_a(X):=(-1)^{\dim X}\cdot (P_X(0)-1)$ o, en su defecto, por el Característica de Euler de su estructura de la gavilla como $p_a(X):=(-1)^{\dim X}\cdot (\chi (\mathcal{O}_X)-1)$ es independiente de la incrustación en $\mathbb{CP}^n$ . Para las hipersuperficies $k=n-1$ está relacionado con el grado: $$p_a(X_{n-1})={\deg X - 1\choose n},$$ en particular para las curvas planas $C\subset\mathbb{CP}^2$ $$p_a(C )=\frac{(\deg C -1)(\deg C -2)}{2}$$ y para $C$ a intersección completa de superficies $S_1, S_2$ en $\mathbb{CP}^3$ $$p_a(S_1\cap S_2)=\frac{1}{2}(\deg S_1\cdot \deg S_2)(\deg S_1+\deg S_2 -4) +1.$$ Nota para curvas complejas proyectivas algebraicas no singulares, es decir, 2manifolds orientables cerrados = superficies compactas de Riemann, es un teorema fundamental que el género aritmético coincide con el género topológico $g$ (#agujeros de rosquilla) y el género geométrico $p_g(X ):=\dim_{\mathbb{C}} H^0(X,\bigwedge^n\Omega_{X})$ . Es interesante, $p_a(C )+1$ es también el límite superior en Teorema de Harnack .
Teorema de Hirzebruch-Riemann-Roch :
Para una gavilla localmente libre (es decir haz de vectores ) $\mathcal{E}$ de rango $r$ en una variedad no singular $X_k\subset\mathbb{CP}^n$ con Carácter de Chern $\operatorname{ch}(\mathcal{E})$ , Clase Todd de su gavilla tangente $\operatorname{td} (\mathcal{T}_X)$ y [X] el clase de equivalencia racional en el anillo de Chow. Entonces su Característica de Euler viene dada por $$\chi(\mathcal{E})=\deg\, (\operatorname{ch}(\mathcal{E})\cdot\operatorname{td} (\mathcal{T}_X)|_k\frown [X])=\int_X\, \operatorname{ch}(E)\wedge\operatorname{td} (TX)$$ donde $(\;)|_k$ denota el componente de orden $k=\dim X$ en El anillo de Chow $A(X)\otimes\mathbb{Q}$ y $E, TX$ son los haces vectoriales correspondientes a las láminas localmente libres, de modo que la integración se realiza sobre las formas diferenciales de orden superior del carácter de Chern y la clase Todd dada en términos de la forma de curvatura de cualquier derivada covariante/conexión de haces sobre $X$ . El producto de ambas clases da una suma finita de clases de Chern $c_i$ potencias, cuyo emparejamiento de orden superior $c_k(\mathcal{E})\frown [X]$ da (cuando $E$ es generado por sus secciones globales) la clase genérica del $(n-r)$ -de cero lóbulos $Z(s)$ de una sección global genérica, $s\in H^0(X, \mathcal{E})$ . Por lo tanto, el teorema da la característica de Euler en términos del grado del genérico ciclo obtenido del producto.
Teorema de Riemann-Roch para las curvas :
Para un divisor $D$ en una curva algebraica $C$ de género g, Hirzebruch-Riemann-Roch junto con Teorema de dualidad de Serre reducir a: $$\chi(\mathcal{O}_C(D))=\dim H^0(\mathcal{O}_C(D))-\dim H^0(\mathcal{O}_C(K_C-D))=\deg D + 1- g,$$ que caracteriza el número de secciones independientes del asociado paquetes de líneas de la divisor canónico $K_C$ , $D$ , su grado y el género de la curva. Una polea invertible asociada $\mathcal{O}_C(D)$ es el subconjunto de funciones racionales sobre $C$ con multiplicidad de ceros y polos de límite inferior en las componentes de $-D$ . Como corolario fundamental obtenemos el grado de cualquier divisor canónico, que no es más que el teorema de Gauß-Bonnet para la curva vista como un 2manifold orientable cerrado real $M_C$ (o superficie compacta de Riemann): $$\deg K_C = 2g-2=-\chi_{\text{top.}}(M_C ).$$
Teorema de Hurwitz para las curvas :
Dejemos que $f:X\rightarrow Y$ sea un mapa regular separable finito de curvas, con grado como en F. anterior, y $R$ el divisor de ramificación de $f$ que corrige el pullback del divisor canónico por $f$ , $K_X\sim^{\text{lin.}}f^\ast K_Y+R$ entonces $$2g_X-2=\deg f\cdot (2g_Y-2)+\deg R,$$ por lo que si $f$ sólo tiene ramificación dócil entonces $$\deg R = \sum_{P\in X}(e_P-1),$$ donde $e_P$ es el índice de ramificación en el punto $P\in X$ .
Teorema de Atiyah-Singer para superficies reales, o teoremas de Chern-Gauß-Bonnet-Poincaré-Hopf-Lefschetz :
Para una curva proyectiva compleja no singular = 2manifiesto real orientable cerrado $M^g_2$ = superficie compacta de Riemann, el Teorema de Atiyah-Singer se reduce a Riemann-Roch por lo que su Característica de Euler-Poincaré (de cohomología singular, de Rham y de Cech) se relaciona con otros invariantes fundamentales en topología diferencial mediante las fórmulas: $$ \begin{aligned} \chi (M_2^g)&=\sum_{j=0}^2 (-1)^j\dim H_{j}(M)=\sum_{j=0}^2 (-1)^j\dim H^j_{dR}(M)= \sum_{j=0}^2 (-1)^j\dim \check{H}^j(M,\underline{\mathbb{R}}) \\ &= V-E+F =2-2g= 2\deg\mathcal{G}_X=\sum_{P\in\text{Zero(X)}}\deg G_{P}=\text{Index}(X)= \\ & =\int_{M}c_1(TM^+)=\int_{M}e(TM^2_g)=\int_{M}c_1([D])=\frac{1}{2\pi} \int_{M}Kd\sigma= \\ &= \deg ([\mathcal{K}]^{-1})=-\deg \mathcal{K}=\Lambda_{\text{Id}}, \end{aligned}, $$ donde $V, E, F$ es el número de vértices, aristas y caras de cualquier triangulación de $M$ , $\mathcal{G}_X$ es el Mapa de Gauß sobre el límite de una región de la superficie que rodea todos los ceros de un campo vectorial genérico, $G_P$ es el mapa de Gauß sobre una frontera de vecindad de un punto cero de un campo vectorial genérico, $c_1$ es la primera Clase Chern , $e$ es el Clase característica de Euler , $[D]$ es el ciclo de homología del [divisor] de ceros de un campo vectorial genérico, $K$ es el total de Curvatura gaussiana , $\mathcal{K}$ es un divisor canónico y $[\mathcal{K}]^{-1}$ la inversa haz de líneas clase de isomofismo asociada a ella, y $\Lambda_{\text{Id}}$ es el Número de Lefschetz del mapa de identidad.
Algunas observaciones históricas sobre la teoría de los grados de Siegberg parece interesante.
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