Hay alguna buena razón para no definir $0^0=1$ , tales como contradicciones en el álgebra o la aritmética?

Question

Matemáticas personas:

El título es la pregunta: ¿hay alguna buena razón para no definir $0^0=1$ , tales como contradicciones en el álgebra o la aritmética?

He buscado preguntas similares antes he publicado esta pregunta, y no podía encontrar nada. Después de lo publicado, tengo algunos comentarios citando a preguntas similares. Hay una pregunta similar a Lo que los valores de $0^0$ sería consistente con las Leyes de los Exponentes? . He comprobado algunas de las preguntas en los enlaces en los comentarios y los enlaces publicados con esos enlaces. Hay una correspondencia cercana a Cómo definir el $0^0$? Esa pregunta estaba cerrada, como un duplicado, pero la edad, la duplicación de la pregunta no fue identificado. No he podido encontrar una respuesta convincente en cualquier lugar a mi pregunta esencial: "¿ la definición de $0^0=1$ conducir a contradicciones en el álgebra y la aritmética?" Voy a dejar a los demás para decidir si mi pregunta es un duplicado. Si es así, tal vez usted puede cerrar esta pregunta y dar una mejor (en mi opinión) en respuesta a una de las mayores preguntas.

Me deja una cosa por el camino hasta la parte delantera: sí, yo sé "$0^0$" es una forma indeterminada. Es decir, si $f$ $g$ real de las funciones con valores de con $f(t) \to 0^+$$t \to 0$$g(t)\to 0$$t \to 0$, entonces usted no sabe lo $\lim_{t\to 0}f(t)^{g(t)}$, o incluso si existe, sin más información. No considero esto una buena razón para declarar que $0^0$ sí debe ser considerado como indefinido. Sé que muchas personas no estarán de acuerdo conmigo aquí. Espero al menos una respuesta y algunos comentarios argumentando por qué es una buena razón para $0^0$ que se considera indefinida. Todo el mundo tiene derecho a su opinión, y usted es libre de dejar una respuesta. Yo no intento cambiar tu mente, más allá de lo que escribo en esta pregunta.

Si definimos $f(x,y) = x^y$, $f$ no puede ser continua en $[0,\infty) \times \mathbb{R}$ no importa qué valor, incluyendo la $1$, se asigna a $f(0,0)$. Pero, ¿por qué cada función tiene que ser continua?

Si la comunidad matemática alguna llegado al consenso de que $0^0=1$, y se me fueron de la enseñanza de cálculo a los estudiantes acerca de los límites que involucran indeterminado formas, yo probablemente no incluso a mencionar la cuestión de si $0^0$ sí tenía un valor, porque probablemente acaba de confundir a los estudiantes. Probablemente no se de cuenta de la omisión.

Para mí, una "buena razón", no para definir $0^0=1$ sería si esta definición resultó en una contradicción, cuando se utiliza en expresiones que impliquen la multiplicación y exponenciación de números reales y de las reglas que se utilizan para simplificar expresiones. Aquí es un intento de producir una contradicción: si $0^0=1$, $(0^0)^2=1^2=1$, y $(0^0)^2=0^{(0*2)}=0^0=1$. No hay contradicción. En contraste, si se definen $0/0 = 1$ y desea que la propiedad asociativa para mantener (una expectativa razonable), entonces se puede derivar la contradicción $1=0/0=(2*0)/0=2*(0/0)=2*1=2$.

Se me acaba de ocurrir que no es otra buena razón para no declarar oficialmente que $0^0$ siempre debe ser igual a $1$: si la definición de $0^0=0$ no conduce a contradicciones en el álgebra o la aritmética.

Yo soy no reclamar $0^0 = 0/0$. Por supuesto, nunca se puede dividir por cero, o subir a cero a una potencia negativa.

Por supuesto, cuando la gente usa el poder de la serie, que el uso de $0^0=1$ todo el tiempo, y nadie se queja. He leído que "$0^0=1$" se utiliza a menudo en la combinatoria, pero yo no sé mucho acerca de la combinatoria.

Basado en lo que he visto en las mayores preguntas, sus respuestas, y las respuestas y comentarios a esta pregunta, parece que nadie ha descubierto alguna forma en la que la definición de $0^0$ $1$ conduce a contradicciones cuando el uso de las habituales reglas de la multiplicación y exponenciación. También parece que la definición de $0^0$ $0$ no conducen a una contradicción. Así que supongo que es imposible para producir una contradicción. Pero nunca he escuchado de alguien que quiera definir $0^0$$0$.

Answer 1

Al menos, la respuesta $0^0 = 1$ es consistente con el cardenal de la aritmética en el set $\{0, 1, 2, \ldots\}$. De acuerdo a esta interpretación, el número de $m^n$ se define como el número de funciones de una $n$-elemento del conjunto a un $m$-elemento del conjunto. No es exactamente una función de una $0$-elemento del conjunto a un $0$-elemento del conjunto, por lo que en esta interpretación, $0^0 = 1$. Las leyes $a^m a^n = a^{m+n}$ $(a^m)^n = a^{mn}$ puede ser demostrado con esa definición. Por lo tanto, la exponenciación como la multiplicación repetida puede ser recuperado. (En uno de sus enlaces, Matt N. da esta misma idea como una respuesta.)

La primera crítica, he oído que participan de la resta de la ley de $\frac{a^x}{a^y} = a^{x-y}$. La idea es que el $\frac{0^x}{0^x} = 0^0$, sin embargo,$\frac{0^x}{0^x} = \frac{0}{0}$, lo $0^0$ es indefinido. El problema aquí no es con $0^0$ es decir $\frac{0^x}{0^x}$ es igual a nada, cuando es indefinido. Podemos utilizar el mismo razonamiento para decir que $0^2$ no está definido, ya $0^2 = \frac{0^7}{0^5} = \frac{0}{0}$. En el peor de los casos, la resta de la ley tiene que ser modificado para decir que sólo se aplica al $a^y \neq 0$. Podemos hacer modificaciones para todas nuestras otras leyes que atañen a la división, así que ¿por qué debería ser diferente?

Answer 2

En muchos entornos, el punto-versión de la noción de función es una ficción útil, pero en última instancia está mal.

Por ejemplo, en el análisis real, el valor de una función en un punto es bastante mucho totalmente irrelevante , es sólo la "masa", el comportamiento de una función en un regino lo que importa. El valor de una integrando en puntos individuales ya no tiene relevancia alguna a una integral de Riemann. La mayoría de las operaciones son implícitamente modificado para añadir "... y, a continuación, tome la extensión continua del resultado" de su significado usual. La definición de "derivados", que con el tiempo se refinado hasta el punto donde las discontinuidades de lavado. Incluso se trabaja con objetos como la función delta de dirac que aún no puede ser completamente descrito por la especificación de sus 'valores' en todos los puntos.

Definición: La cvalue de una función de $f$ en el punto de $a$ se define a ser, si es que existe y es única, el valor de $g(a)$ donde $g$ es una función continua en $a$ y difiere de $f$ en sólo un número finito de puntos. Este valor será anotada $f[a]$.

(reemplazar "un número finito de puntos" con "un conjunto de medida cero" para obtener una mejor definición, si usted sabe lo que eso significa)

El nombre y la notación se compone por este post, creo que el análisis sólo tendría que llamar a esto el "valor" de $f$ $a$ y asumir que sus colegas saben lo que significan.

Cuando existen límites, se puede calcular simplemente conectando cvalues:

$$ \lim_{x \to a} f(x) = f[a] $$

Además no es demasiado difícil ver, por ejemplo, que

$$ \int_a^b f(x) \, dx = \int_a^b f[x] \, dx $$

así que ya podemos ver que cvalues ya son lo suficientemente buenos para calcular las integrales.

También, recordar que la principal propiedad de la función delta de dirac es que si $f$ es continua en cero, tenemos

$$ \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \delta(x) \, dx = f(0) $$

Esto se generaliza a

$$ \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \delta(x) \, dx = f[0]$$

al $f$ es discontinua en cero.

Otro buen ejemplo es que la función parcial $f(x) = \frac{x}{x}$ y la función de $g(x) = 1$ satisfacer $f[x] = g[x]$ en todas partes.

Espero que estos dan algunos de el sabor de por qué cvalues tiene importancia.

El punto de llevar a todos de esto es que en el continuo de contexto, poniendo énfasis en los valores en puntos individuales es la manera equivocada de pensar sobre las cosas. Establecimiento $0^0 = 1$ se lava a cabo, debido a que el cvalue de $x^y$ no existe en $0^0$. Sin embargo, las funciones continuas son muy especiales porque son mucho más fáciles de manipular y trabajar con y tiene un montón de propiedades atractivas. La modificación de la exponenciación a ser discontinua hace difícil tomar ventaja de las características que la exponenciación de otro modo habrían de su condición de ser continua en la región definida por $x > 0$ y en $x = 0 \wedge y > 0$.

Answer 3

No creo que alguien ha encontrado una contradicción que es causada por la asignación de 0^0 = 1. Pero si usted encuentra uno, por favor háganoslo saber!

Answer 4

El hecho de que 0^0 = 1 se desprende directamente de una amplia aceptación, teorema (el teorema del binomio). Por lo tanto, la afirmación de que 0^0 no está definido es equivalente a la afirmación de que ampliamente aceptado los resultados matemáticos son mutuamente inconsistentes.

Este es un gran reclamo teniendo en cuenta el hecho de que nadie ha encontrado inconsistencias en más de un centenar de años!

La realidad es que (a) 0^0 es 1 en cada fórmula que contiene x^n, (ejemplos: teorema del binomio, series de Taylor, polinomios, la matriz de Vandermonde, el poder de la regla, etc.), y (b) nadie ha encontrado nunca ninguna contradicción derivada de esta.

En todas las otras partes de las matemáticas si A ==> B, y es ampliamente aceptado teorema, entonces debemos aceptar B así. Sin embargo, algunas personas rechazan esta cuando B es una declaración de que los conflictos con su tripa intuición como 0^0 = 1. Prefieren confiar en ad-hoc argumentos como los límites en lugar de aceptar las consecuencias de la bien establecida teoremas. La única explicación que se me ocurre para este phenonemon es que incluso en la edad moderna, la gente aún se siente incómodo con la aceptación de 0 como un número, o {} como un conjunto.