¿Por qué todas las superficies con límite de realizarse en $\mathbb{R}^3$?

Question

Estoy teniendo problemas para comprender informal, la prueba del hecho de que todas las superficies compactas con límite puede ser realizado en $\mathbb{R}^3$. Estoy tratando de encontrar una prueba de ello en internet, pero no puedo encontrar en cualquier lugar. Podría alguien por favor dar una referencia o dar una prueba de ello, a partir de la clasificación de las superficies compactas (con o sin límite) ? La prueba de que estoy tratando de entender comienza a partir de un disco de $D$ y colas listones rectangulares para cambiar la característica de Euler y el límite de número (= el número de agujeros hechos en $D$), pero no entiendo cómo el encolado sucede.

Cualquier ayuda es como siempre se agradece.

Answer 1

A partir de la clasificación teorema, una superficie compacta, con límite de es $mT+nD$ o $mP+nD$ donde $T$ es un toro, $P$ un plano proyectivo, $D$ un disco, $+$ está "conectado suma", $m\ge0$, e $n\ge1$.

Ahora sin duda se puede incrustar $T$ en el 3-espacio, y el conectado suma de cualquier número de copias de $T$, y, a continuación, usted puede cortar algunos agujeros para conseguir $mT+nD$, por lo que las superficies orientables, no dan ningún problema.

$P+D$ es una banda de Möbius, que seguramente has visto incrustado en un espacio de 3 dimensiones.

$2P+D$ es una botella Klein con un agujero en él. La forma habitual de tratar de esbozar una botella Klein sufre el defecto de que hay un lugar donde la superficie tiene que pasar a través de sí mismo; si usted buscarse un hueco allí, la superficie puede pasar a través del agujero. Alternativamente, creo que de un cuadrado con bordes opuestos identificado en una botella Klein manera, pero con un agujero en el medio de la plaza. Identificar un par de bordes para hacer un cilindro con un agujero en la pared, a continuación, identificar el otro par de bordes (que en este punto son los círculos) tirando de uno a través del agujero para encontrar a los otros.

Finalmente, $3P$ es homeomórficos a $T+P$, y se puede utilizar para escribir $mT+nD$ como algún número de tori, más bien $P+D$ o $2P+D$, además de algunos ejemplares más de $D$, de modo que siempre tienes algo que vive en un espacio de 3 dimensiones.