Es de 641 el Menor Factor de cualquier Compuesto de Fermat Número?

Question

Considerar la secuencia de $a_n = 2^{2^n}+1$ de los llamados números de Fermat. Es bien sabido que el $a_5$ no es el primer ($a_5 = 641 \cdot 6700417$, esto es debido a Euler). Lo que quiero saber acerca de esta secuencia es el más pequeño factor de cualquiera de sus términos compuestos. Es simplemente 641, o no más tarde término compuesto en la secuencia de tener un menor factor?

Originalmente quería preguntar si había habido algún esfuerzo para resolver problemas similares para otras secuencias así, pero eso no es algo que se siente MSE quiere. Si alguien tiene alguna información sobre esto, sin embargo, siéntase libre de comentar o agregar a su respuesta!

Answer 1

Si $q$ es un primer factor de $a_n=2^{2^n}+1$, $q\equiv1\pmod{2^{n+1}}$ y por lo tanto $$q>2^{n+1}\ .$$ Así que si estamos buscando $q<641$$n\le8$; si queremos que $a_n$ compuesto, a continuación,$n\ge5$. Por lo tanto $n=5,6,7,8$, y no es el primer factor de $q$ menos de $641$, debido a que todos estos números han sido completamente factorised.

Answer 2

Hay un determinista respuesta a esto, fácil programa de ordenador. Para cada uno de los prime $p$ de interés, calcular $$ 2,4,16,256,\ldots, 2^{\left( 2^n \right)}, \ldots \pmod p $$ until you find repetition. For the prime being worked on, this tells you whether $2^{\a la izquierda( 2^n \right)}$ can ever be congruent to $-1 \pmod p.$