Subgrupos derivados de $SL(2,2)$ , $SL(2,3)$ y $GL(2,3)$

Question

Me gustaría calcular los subgrupos conmutadores de $SL(2,2)$ , $SL(2,3)$ y $GL(2,3)$ .

Para el grupo $G:=SL(2,2)$ tenemos $|G|=6$ . Podemos demostrar fácilmente que $G$ es no abeliana. Y por lo tanto, o bien $|G'|=2$ o $|G'|=3$ . Dado que el conjunto de transvección genera $G$ , $G'$ no puede contener una transvección, que es conjugada con $\left(\begin{array}{cc}1&0\\1 &1 \end{array}\right)$ . Por lo tanto, $|G/G'|=2$ y así $|G'|=3$ . Por lo tanto, $G'=C_3$ es un grupo cíclico de orden $3$ .

¿Es correcto el argumento anterior? ¿Cómo puedo hacer para otros grupos $SL(2,3$ y $GL(2,3)$ ?

Muchas gracias de antemano.

Answer 1

$$G=SL(2,2)=GL(2,2)\,\,\,\text{of order six and non abelian}\,\,\Longrightarrow G\cong S_3\Longrightarrow G'=S_3^{'}=A_3\cong C_3$$

Para ver que $\,S_3^{'}=A_3\,$ nota que $\,S_3/A_3\cong C_2\,$ es abeliana, y por tanto $\,S_3^{'}\leq A_3\,$ y como $\,S_3^{'}\neq 1\,$ (¿por qué?) entonces $\,S_3^{'}=A_3\,$

$$|G:=GL(2,3)|=(3^2-1)(3^2-3)=48\,\,,\,\,|SL(2,3)|=\frac{48}{2}=24$$

Así,

$$G/SL(2,3)\cong C_2\,\,\,\text{abelian}\,\,\Longrightarrow G'\leq SL(2,3) $$

Ahora bien, tenga en cuenta que

$$\begin{pmatrix}1&a/2\\0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0\\0&\!\!\!\!-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&-a/2\\0&\;\;1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0\\0&\!\!\!-\!1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&a\\0&1\end{pmatrix}$$

y como las transvecciones como la anterior generan $\,SL(2,3)\,$ obtenemos la igualdad $\,G'=SL(2,3)\,$

Answer 2

El subgrupo derivado de $G=SL(2,3)$ es el grupo de cuaterniones $Q_8$ . Los posibles polinomios mínimos de un elemento de orden $2$ en $G$ debe dividir $X^2-1$ y no puede ser $X^2-1$ (ya que el determinante debe ser $1$ ). Por lo tanto, $X=-1$ (multiplicación escalar) es el único elemento de orden $2$ (generando el centro de $G$ ). De forma similar (determinante y traza del polinomio mínimo) se demuestra que no hay elementos de orden $8$ y $6$ elementos de orden $4$ . Por lo tanto, existe un único $2$ -Sylow subgrupo que debe ser normal. Por multiplicación de los elementos de orden $4$ que has encontrado, demuestras que el grupo no es abeliano. El grupo diédrico $D_4$ y el grupo de cuaterniones $Q_8$ son hasta el isomorfismo los únicos grupos no abelianos de orden $8$ . Como nuestro grupo contiene un único elemento de orden $2$ Debe ser $Q_8$ . Desde $G/Q_8$ es abeliano tenemos $G'$ está contenida en $Q_8$ . Para ver que es $Q_8$ observamos que $G/Z(G)$ es un grupo no abeliano de orden $12$ cuyo 2-Sylow es isomorfo a $Q_8/Z(G)$ que es isomorfo al grupo de cuatro de Klein y, por tanto, debe ser el grupo alterno $A_4$ cuyo subgrupo derivado es de orden $4$ . Desde $Q_8'$ de orden $2$ y en $G'$ obtenemos que $G'$ es de orden $8$ .