(Para aclarar, sólo me gustaría una pista . Por favor, no me den la respuesta a este problema. ) La solución al siguiente problema realmente me ha evadido aquí:
El problema: Supongamos que $f$ está completo y que $\lim_{z \to \infty} f(z)/z = 0.$ Demostrar que $f(z)$ es constante.
Mis pensamientos y mi trabajo hasta ahora: Sabemos que demostrar que $f'(z) = 0$ o que para algunos fijos $c \in \mathbb{C}$ , $f(z) = c$ para todos $z\in \mathbb{C}$ . Mi primera aproximación fue utilizar el Teorema de Liouville; si pudiera demostrar que $f$ está acotado, entonces he terminado. Como $\lim_{z \to \infty} f(z)/z = 0$ para todos $\varepsilon > 0$ existe un $N \in \mathbb{C}$ tan grande que si $z \geq N$ entonces $|f(z)/z| \leq \varepsilon$ . Por lo tanto, si $C_R$ es el círculo de radio $R$ centrado en el punto $z$ entonces, siempre que z sea lo suficientemente grande por la desigualdad de Cauchy
$$ |f'(z)| \leq \frac{1}{2\pi i} \oint_{C_R} \frac{f(\zeta)}{(\zeta - z)^2}\ d\zeta \leq \bigg | \frac{1}{2\pi i} \bigg | \oint_{C_R} \bigg | \frac{f(\zeta)}{(\zeta - z)^2} \bigg | d \zeta \leq \frac{1}{2\pi} \frac{|\zeta|\varepsilon 2\pi R}{R^2} = \frac{|\zeta|\varepsilon}{R}. $$
Ahora tomando el límite como $R \to \infty$ (que para mí dice: "dejemos que nuestro círculo alrededor de nuestro punto z se dilate hasta un radio infinito para que cubra todo $\mathbb{C}$ ) $$|f'(z)| \leq \lim_{R \to \infty} \frac{|\zeta|\varepsilon}{R} = 0.$$
Así, $f'(z) = 0$ y $z$ era arbitraria, por lo que $f$ debe ser constante.
Por qué creo que me equivoco : Yo digo $z$ era arbitraria, pero en realidad es "cualquier $z \geq N$ ", que en realidad no es tan arbitrario.
Aquí es donde estoy atascado. ¿Estoy en lo cierto, equivocado, cerca o totalmente perdido? Cualquier pista sería genial.
Editar: Lo siento mucho pero accidentalmente publiqué esto antes de terminar de escribir el problema.
