Inyectiva mapa entre el poder de la serie ring

Question

Supongamos $k$ es un campo y dejar a $n > m$. ¿Existe inyectiva homomorphisms $$ k [[x_1, x_2, \ldots, x_n]] \rightarrow k[[x_1, x_2, \ldots, x_m]]\ ?$$

Answer 1

Esta respuesta es (una revisión) de Simon Wadsley comentario publicado aquí con el único objetivo de eliminar esta pregunta sin respuesta de la cola.

Deje $k$ ser una contables de campo, y un mapa $k[[x,y,z]] \to k[[u,v]]$ que envía a $x$ a $u$, $y$ a $uv$ $z$ $uf(v)$algunos $f∈k[[v]]$. No es difícil ver que sólo para countably muchas opciones de $f$ puede el núcleo, posiblemente, ser distinto de cero.