Longitud de onda, frecuencia y velocidad de De Broglie - interpretación

Question

Dos ecuaciones fundamentales sobre dualidad onda-partícula son: $$ \lambda = \frac{h}{p}, \\ \nu = E/h .$$

Hablamos de Longitud de onda de Broglie ¿tiene sentido hablar de la frecuencia de Broglie ( $\nu$ arriba) y la velocidad de Broglie ( $\nu \lambda$ )? ¿Son estas dos ecuaciones independientes o se puede derivar una de la otra? O a medio camino, ¿impone una restricción a la otra? En el caso de la luz o los fotones podemos relacionar la frecuencia y la onda, ¿hay una interpretación similar en el caso de la frecuencia y las longitudes de onda en las ecuaciones anteriores? Comparando con el caso de la luz, si multiplicamos $\lambda$ y $\nu$ obtenemos la velocidad, ¿qué significa esta velocidad aquí?

Si hacemos el cálculo anterior para un humano medio, ¿cuál sería el significado de $\nu$ y $\nu \lambda$ ? ¿Estamos moviendo con eso $\nu$ ?

Answer 1

Sí, el producto $\nu \lambda$ tiene sentido como velocidad. Definición de $E = \hslash \omega$ y $p=\hslash k$ (la constante de Planck $h=2\pi \hslash$ , donde el $2\pi$ se inyecta en el $\hslash$ ya que los físicos suelen preferir hablar de la frecuencia angular $\omega=2\pi\nu$ y el vector de onda $k=2\pi p$ en lugar de la frecuencia $\nu$ y el impulso $p$ para facilitar la notación de la transformación de Fourier), se obtiene $$\nu \lambda = \frac{\omega}{2\pi}\frac{2\pi}{k}=\frac{\omega}{k}$$ que es la definición estándar para el velocidad de fase . Corresponde a la velocidad de la componente de la onda a la frecuencia $\nu$ propagación a distancia $\lambda$ por unidad de tiempo.

Esto es siempre cierto, pero para una situación más complicada, un sistema se representa por una superposición de diferentes ondas que se propagan a diferente velocidad de fase. Resulta una paquete de ondas propagándose, como un conjunto, en el velocidad del grupo $$v_{g}=\frac{\partial \omega \left(k\right)}{\partial k}$$ donde el relación de dispersión del paquete de ondas se observa $\omega \left(k\right)$ .

Sólo la velocidad del grupo tiene algunas interpretaciones físicas claras. Por ejemplo, la velocidad de fase puede ser mayor que la velocidad de la luz, pero la velocidad de grupo nunca puede ser mayor que la velocidad de la luz $v_{g}\leq c$ al menos en el vacío.

Para un fotón en el espacio libre, por ejemplo, $\omega \left(k\right)=c k$ y por lo tanto su velocidad de grupo es $c$ . Para una partícula libre no relativista de masa $m$ , $\omega = \hslash k^2/2m$ y $v_{g}=\hslash k/m$ . etc...

Para un cuerpo humano, hay que contar todos los átomos que lo constituyen. La frecuencia individual de un átomo interfiere con las frecuencias de todos los demás, lo que da lugar a una relación de dispersión casi plana. La velocidad de grupo es entonces ridículamente pequeña. ¡Un cuerpo humano no se mueve por efecto cuántico! Puedes hacerte una idea básica de la velocidad de grupo de un cuerpo humano suponiendo que eres una partícula libre de masa $100 \textrm{kg}$ y la longitud de onda $1 \textrm{m}^{-1}$ ( es decir el orden de magnitud de su tamaño es de aproximadamente $1 \textrm{m}$ ) el $\hslash$ mata a $v_{g} \sim \left(10^{-36}-10^{-34}\right) \textrm{m.s}^{-1}$ ¡!

Más sobre eso :

• http://en.wikipedia.org/wiki/Phase_velocity
• http://en.wikipedia.org/wiki/Group_velocity
• http://en.wikipedia.org/wiki/Dispersion_relation

Answer 2

Sí, las fórmulas $p=h/\lambda$ y $E=h\nu$ (las mismas ecuaciones que las tuyas, revertidas un poco) son universales: valen no sólo para los fotones sino para cualquier partícula.

Además, estas dos ecuaciones no son del todo independientes. Suponiendo la relatividad especial, ambas se derivan de la forma de Broglie de la función de onda, que es de fase pura: $$ \psi(x,t) = C\cdot \exp(2\pi i (x/\lambda - t\nu)) $$ y de forma similar, en cualquier dimensión del espaciotiempo, $$ \psi\sim \exp(ix^\mu p_\mu / \hbar) $$ donde $x^\mu$ tiene componentes $(t,x,y,z)$ con algunos poderes convencionales de $c$ y $p_\mu/\hbar$ tiene componentes $2\pi\nu=\omega$ y $\vec k$ donde $|\vec k|=2\pi/\lambda$ y $\vec k$ es el vector del número de onda con la dirección de la onda. Obsérvese que $\hbar = h/2\pi$ es la constante de Planck naturalmente reducida.

Sólo porque queremos que la fase sea invariante de Lorentz, tenemos que sumar los productos de las componentes espaciales al producto de las componentes temporales para que el exponente se combine con el bonito producto interior de cuatro dimensiones. Así es como de Broglie obtuvo la idea de la onda en primer lugar.

En la mecánica cuántica no relativista, a menudo utilizamos la noción no relativista de energía que es $E - m_0 c^2$ : restamos la enorme energía latente. Este desplazamiento global de la energía por una constante no supone ninguna diferencia para la física y equivale a redefinir la fase de $\psi$ por $\psi\to \psi \exp(imc^2 t / \hbar)$ . En esta convención no relativista para la fase, perdemos la simetría manifiesta de Lorentz entre el momento y la energía, pero la simetría sigue ahí y puede ser restaurada si volvemos $mc^2$ a $E$ .