Primas entre $n$ y $2n$

Question

Sé que existe un primo entre $n$ y $2n$ para todos $2\leq n \in \mathbb{N}$ . ¿Qué número es el cuarto que tiene un solo primo en su hueco? Los tres primeros números son $2$ , $3$ y $5$ . He comprobado con el ordenador hasta $15000$ y no pude encontrar el siguiente. ¿Tal vez, usted puede probar que no hay otro número con esta condición?

Además, cuando digo, un número $n$ tiene un primo en su hueco significa que el conjunto $X = \{x: x$ es primo y $n<x<2n\}$ sólo tiene un elemento.

Gracias por cualquier ayuda.

Answer 1

No hay ningún otro $n$ .

Para instancia ,

En 1952, Jitsuro Nagura demostró que para $n ≥ 25$ siempre hay un primo entre $n$ y $(1 + 1/5)n$ .

Esto significa inmediatamente que para $n \ge 25$ tenemos un primo entre $n$ y $\frac{6}{5}n$ y otro primo entre $\frac{6}{5}n$ y $\frac65\frac65n = \frac{36}{25}n < 2n$ . De hecho, $\left(\frac{6}{5}\right)^3 < 2$ también, por lo que podemos estar seguros de que para $n \ge 25$ hay al menos tres primos entre $n$ y $2n$ . Como ya ha comprobado todo $n$ hasta $25$ (y más) y sólo encontró $2$ , $3$ , $5$ Podemos estar seguros de que estos son los únicos.

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El número de primos entre $n$ y $2n$ sólo se hace más grande a medida que $n$ aumenta: se deduce del teorema del número primo que $$ \lim_{n \to \infty} \frac{\pi(2n) - \pi(n)}{n/\log n} = 2 - 1 = 1,$$ por lo que el número de primos entre $n$ y $2n$ que es $\pi(2n) - \pi(n)$ es en realidad asintótica a $\frac{n}{\log n}$ que se hace arbitrariamente grande.

Answer 2

Hay una prueba bonita y bastante fácil del postulado de Bertrand (debida a Erdős), que se puede encontrar aquí por ejemplo. En algún momento de la prueba, se obtiene: $$4^{\frac{1}{3}n}\leq (2n)^{\sqrt{2n}+1}\cdot\prod_{n<p<2n}p$$ Para demostrar el postulado de Betrand, habría que suponer al contrario, que este producto es vacío y concluir una contradicción para $n$ lo suficientemente grande.

Pero, más exactamente: $$\prod_{n<p<2n}p\geq \frac{4^{\frac{1}{3}n}}{(2n)^{\sqrt{2n}+1}}\quad\Rightarrow\quad|X|\geq \log_{2n}\left(\frac{4^{\frac{1}{3}n}}{(2n)^{\sqrt{2n}+1}}\right)$$ Dejo para ti más simplificaciones. Estoy seguro de que puede demostrar que esto es más grande que $2$ para $n$ lo suficientemente grande.