Grothendieck conexiones y chorros

Question

La siguiente pregunta se basa en algunas de las observaciones formuladas en la sección I. 2 de Deligne del libro Ecuaciones Différentielles à Puntos Singuliers Réguliers.

Deje $X$ ser un suave compleja variedad y $X_1$ el primer infinitesimal barrio de la diagonal en $X \times X$, por lo que existe un natural de morfismos $X \to X_1$. Si escribimos $p_1,p_2 : X_1 \to X$ durante los dos proyecciones, la primera a la orden del jet paquete de un vector paquete de $V$ $X$ se define a ser $J^1(V) = p_{1*} p_2^*V$. Aquí "superior de la estrella" es usado en el sentido de $\mathcal{O}$-módulos. Esto permite una forma conveniente de expresar la noción de una conexión: esto es sólo un isomorfismo $p_1^*V \to p_2^*V$, lo que restringe a la identidad a través de $X$, que es el mismo como una $\mathcal{O}$-lineal mapa de $V \to J^1(V)$ de manera tal que la composición de la $V \to J^1(V) \to V$ es la identidad.

Aquí Deligne dice algo que no entiendo: se refiere a un diferencial de primer orden operador $j^1 : V \to J^1(V)$ "que se asocia con cualquier sección de primer orden jet" (traduzco del francés). ¿De qué está hablando? Yo no tengo mucha intuición para los jets, aunque sé que tiene algo que ver con la toma de Taylor expansiones, por lo que cualquier explicación general de que sería muy apreciado también.

Answer 1

Cuidado: yo no soy un experto en motos de paquetes, por lo que el siguiente no puede responder a su pregunta.

El $k$-jet paquete de $J^k V$ $V$ está definido por

$$ (J^k V)_x = \mathcal O_x(V) / (\mathfrak m_x^{k+1} \cdot \mathcal O_x(V)) $$

donde $\mathfrak m_x$ es el único ideal maximal de el anillo de $\mathcal O(V)_x$ (esto es en un punto de $x \in X$). Este pointwise definición de las colas para dar un holomorphic vector paquete de $J^k V$$X$.

A partir de la definición, vemos que hay un natural mapa

$$ j^k : \mathcal O(V) \to J^k V $$

definido por paso al cociente. Mi conjetura es que esto es el mapa $j^k$ que Deligne se refiere.

Este es, por supuesto, bien y de buenas, pero exhibe los árboles en vez de el bosque. Tienes toda la razón en que hay un vínculo entre chorros y series de Taylor. De hecho, moralmente hablando, el $k$-jet paquete de $V$ es sólo el paquete de cuyas secciones son desarrollos de Taylor de orden $k$ de las secciones de $V$. El mapa de $j^1$ que Deligne se refiere es, pues, justo el mapa que envía una sección de $\sigma$ a su desarrollo de Taylor de orden 1.

Es más fácil ver lo que está pasando en coordenadas locales. Supongamos que $V$ es una línea de paquete y mira 1-jets para la simplicidad ... todo funciona de la misma para que el vector de paquetes de rango arbitrario y $k$-jets.

Fijar un punto de $x \in X$, y tomar las coordenadas de $(z_1, \ldots, z_n)$ centrada en $x$. Deje $e$ ser un holomorphic sección de $V$ que trivializa $V$ en nuestro coordinar barrio. Una sección de $\sigma$ $V$ puede ser escrito como $\sigma(z) = f(z) \, e(z)$ donde $f$ es un holomorphic función. La función de $f$ tiene un desarrollo de Taylor $f(z) = a_0 + a_1 \, z + O(|z^2|)$$x = 0$, lo que

$$ \sigma(z) = a_0 \, e(z) + a_1 z \, e(z) + O(|z^2|) \, e(z) $$

alrededor de $0$. El $1$-jet de $\sigma$ $x$ es entonces igual a

$$ j^1(\sigma(z)) = a_0 \, e(z) + a_1 z \, e(z).$$

El $1$-jet paquete de $J^1 V$ es por lo tanto un rango de 2 vector paquete de más de $X$, y los coeficientes de $a_0$ $a_1$ definir las coordenadas a lo largo de las fibras de $J^1 V$$x$.

Yo no sé realmente de una buena referencia para chorro de paquetes. Lo poco que sé, en su mayoría proviene del Capítulo VII de Demailly del libro (http://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~demailly/manuscritos/agbook.pdf). Lo que escribí aquí puede encontrar en las páginas 351--352 de su libro. Un poco más adelante en el Capítulo de la prueba de Kodaira la incrustación teorema con chorro de paquetes, por lo que podrían ser de interés para usted.

[Modificar:] me di cuenta de que $j^k$ no parece ser un operador diferencial. Sin embargo, si tomamos $j^1$ a ser el cociente mapa, y hacerle olvidar el término constante $a_0$, entonces es un operador diferencial. Tal vez este es el mapa Deligne tiene en mente?