Qué objetos pueden pertenecer a un grupo?

Question

¿Qué tipo de objeto puede pertenecer en un grupo?

Hasta ahora sólo he visto enteros y matrices. Puede vectores de estar en un grupo? Puede operadores de estar en un grupo?

Por favor alguien ayuda a estirar mi mente un poco como en línea notas no ayuda en este sentido. Gracias!

Answer 1

Cualquier objeto puede estar en un grupo. Qué hace que un conjunto de un grupo es el de las operaciones con que se dota, es decir, la multiplicación de mapa de $$G \times G \to G$$ y a la inversa mapa de $$G \to G$$ la satisfacción de los habituales grupo de axiomas.

Por ejemplo, el espacio vectorial axiomas implican que para cualquier espacio vectorial $(\mathbb{V}, +, \cdot)$, el conjunto subyacente $\mathbb{V}$ es un (abelian) grupo bajo el dado, además de la operación $+$.

Y, por supuesto, podemos pensar en los elementos de una matriz del grupo (por ejemplo) $G \subseteq GL(n, \mathbb{R})$ como operadores unarios que actúan en $\mathbb{R}^n$, por ejemplo, por la izquierda de la multiplicación.

Answer 2

Mientras usted tiene un conjunto no vacío de cosas, que llamamos $G$, y algunos operador $*$ en el conjunto tal que para todos los $a, b, c \in G$,

1. $a * b \in G$;
2. $a * (b * c) = (a* b) * c$;
3. Hay un elemento $e \in G$ tal que $e * a = a * e$;
4. Para todos los $d \in G$, hay un elemento $d^{-1} \in G$ tal que $d*d^{-1} = d^{-1}*d = e$;

entonces usted tiene un grupo.

Uno de mis temas favoritos de la investigación es la aplicación de música de la teoría de conjuntos (muy diferente de la matemática de la teoría de conjuntos, por cierto), que consiste en la estructura del grupo de la serie de doce notas musicales $S$. Uno podría pensar que las notas musicales se alejan mucho de matemáticas, pero por un tiempo muy largo, 20 de la música del siglo teóricos han tratado $S$ "siendo esencialmente el mismo" de los enteros mod 12, $\mathbb{Z}_{12}$, la creación de un isomorfismo - y, a continuación, escribimos $S \cong \mathbb{Z}_{12}$.

Answer 3

Cualquier colección de objetos puede realizarse dentro de un grupo. Por ejemplo, el conjunto consta de un oso de Peluche y una manzana puede ser realizado en un grupo de la siguiente manera:

Deje $G$ el conjunto $\{$ ʕ•ᴥ•ʔ,  $\}$. Definir una operación binaria $+: G \times G \to G$ como sigue:

ʕ•ᴥ•ʔ $+$  $=$  $+$ ʕ•ᴥ•ʔ $=$ ʕ•ᴥ•ʔ

y

ʕ•ᴥ•ʔ $+$ ʕ•ᴥ•ʔ $=$ 

y

 $+$  $=$ 

La definición de un grupo es simplemente una impresión de color azul que puede utilizar para detectar objetos que son de los grupos. Que los elementos de los grupos que se indican por números enteros y otras colecciones de números es sólo por comodidad:

Una razón es que es más fácil escribir $1$ que es escribir ʕ•ᴥ•ʔ.

Otra razón es que esperamos que $1$ $-1$ etc. a comportarse de ciertas formas familiares y la notación ofrece esta intuición de nosotros, sin costo adicional.

Pero estas dos razones, no quiere decir que no podríamos escribir $\mathbb Z / 6 \mathbb Z$ completo el uso de símbolos divertidos de nuestra propia elección.

Answer 4

Cualquier cosa puede estar en un grupo, tan larga como una operación binaria asociativa con la identidad (y la recíproca para cada elemento) está definido. Si $V$ es un espacio vectorial, entonces el conjunto de vectores en $V$ es un grupo bajo la suma. Distinto de cero racionales, reales y complejos forman un grupo bajo la multiplicación. Invertible operadores lineales en un espacio vectorial formar un grupo en la composición. Bijective funciones a partir de un conjunto a sí mismo también forma un grupo en la composición. Dado un alfabeto de símbolos $a$, $b$, $c$, ..., la colección de todas las "palabras" el uso de estas letras y estas cartas con el superíndice "$-1$"s forma un grupo bajo la concatenación.

Answer 5

Los grupos se expresan en términos de la teoría de conjuntos, y en la teoría de conjuntos ZF "ser" es una relación que se mantiene entre dos conjuntos.

Así, los elementos de cualquier conjunto (que es un grupo no tiene nada que ver con ella) puede ser cualquiera de los conjuntos de ningún tipo.

Esto importa poco en matemáticas diarias, sin embargo. Normalmente se puede pensar de los elementos como "puntos" en la geometría.