Estoy tratando de demostrar que, dado un subespacio $\mathbf{W}$$\mathbb{R^{n}}$, el subespacio y su complemento ortogonal de 'la cubierta' de $\mathbb{R^{n}}$ a través de '+' donde se definen $\mathbf{W}$+$\mathbf{W^{\perp}}$ como combinación lineal de los vectores, tanto en el subespacio y en su complemento ortogonal. Parece intuitivamente correcto, y puedo demostrar que la suma de sus dimensiones se suma a la n, pero no estoy seguro de cómo demostrar la pregunta que estoy mirando. Gracias!
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Supongamos $W$ tiene dimensión $k$, y comenzar con una base $v_1,\ldots,v_k$$W$. Este es un subconjunto linealmente independiente de $\mathbb{R}^n$, por lo que puede ser extendida a una base $v_1,\ldots,v_n$$\mathbb{R}^n$.
Aplicar las bacterias Gram-Schmidt proceso de a $v_1,\ldots,v_n$ para obtener una base ortonormales $w_1,\ldots,w_n$ $\mathbb{R}^n$ tal que $w_1,\ldots,w_k$ es un ortonormales base para $W$. Ahora tomar cualquier vector $z = a_1 w_1 + \ldots + a_k w_k + a_{k+1} w_{k+1} + \ldots + a_n w_n$$\mathbb{R}^n$. Las condiciones para $z \in W^{\perp}$ precisamente
$\langle z,w_1 \rangle = \ldots = \langle z,w_k \rangle= 0$,
es decir,
$a_1 = \ldots = a_k = 0$.
Por lo tanto $W^{\perp}$ es el lapso de $w_{k+1},\ldots,w_n$ y $\mathbb{R}^n = W \oplus W^{\perp}$.
En el argumento anterior, la clave está mostrando que la $\dim W + \dim W^{\perp} = \dim \mathbb{R}^n$ (como Jonas Meyer dice en su respuesta). Otro argumento a favor de esta, válido para cualquier degenerada de bilineal simétrica forma $(u,v) \mapsto B(u,v)$ sobre un espacio vectorial $V$ (no necesariamente finito-dimensional) sobre un campo $K$ se da en $\S 4$ de estas notas sobre la formas cuadráticas. Tenga en cuenta que un general bilineal no degenerada forma puede ser isotrópico, es decir, uno puede tener un valor distinto de cero vectores $v$ $B(v,v) = 0$ e lo $Kv \cap (Kv)^{\perp} \neq 0$. Pero, por definición, un producto interior es anisotrópico, que obliga a $W \cap W^{\perp} = 0$ para todos los subespacios $W$.
tooshel
Puntos
475
Si usted sabe cómo demostrar que las dimensiones de $W$ $W^\perp$ agregar a a $n$, entonces el mismo argumento muestra que las dimensiones de $W+W^\perp$ $(W+W^\perp)^\perp$ agregar a a $n$, y el segundo es $0$. (Cualquier vector en $(W+W^\perp)^\perp$ es perpendicular a sí mismo, porque es en tanto $W^\perp$$W^{\perp\perp}$.)
