He aquí una respuesta incompleta. En algunas circunstancias especiales que la conjetura es verdadera, pero en algunos otros no lo es.
Suponiendo que los componentes $Z_j$, $j=1,\ldots,n$ no están correlacionados (y por lo tanto independiente, ya que son conjuntamente normal) esto se reduce a un problema de variables aleatorias de Bernoulli: Vamos a
$$
Y_j = \begin{cases} 1 &\text{if }Z_j>x_j, \\
0 & \text{otherwise}. \end{casos}
$$
A continuación, $Y_j\sim\mathrm{Bernoulli}(p_j)$ $j=1,\ldots,n$ donde $p_j = \Pr(Z_j>x_j)$, y $Y_j$, $j=1,\ldots,n$ son independientes. Entonces la pregunta es si $\Pr(Y_1=1\mid Y_1+\cdots+Y_n=y)$ es una función creciente de $y$.
La respuesta es "sí", y me estoy dando cuenta de que yo no sé la manera más elegante para demostrar que, así que tal vez voy a estar de vuelta. He comentado algunas preliminares scratchwork a continuación y que me puede volver a terminar más tarde.
Aquí está una estrecha caso especial en el cual es fácil demostrar que la respuesta es "sí": supongamos $Z_1,\ldots,Z_n$ son independientes (lo cual no es cierto en general de los componentes de un multivariante variable aleatoria normal) y tiene el valor esperado $0$ (también no es cierto en general) y de la varianza $1$ (también no es cierto en general) y $x_1=\cdots=x_n$. En ese caso, podemos dejar
$$
Y_j = \begin{cases} 1 & \text{if }Z_j>x_j, \\ 0 & \text{otherwise}. \end{casos}
$$
Entonces
\begin{align}
& \Pr(Y_1=1 \mid Y_1+\cdots+Y_n=y) = \frac{\Pr(Y_1=1)\Pr(Y_2+\cdots+Y_n=y-1)}{\Pr(Y_1+\cdots+Y_n=y)} \\[10pt]
= {} & \frac{p \cdot \dbinom{n-1}{y-1} p^{y-1}(1-p)^{n-y} }{\dbinom n y p^y (1-p)^{n-y}} = \frac y n,
\end{align}
y que sin duda aumenta a medida $y$ aumenta.
Sin embargo, uno debe considerar las correlaciones negativas. Supongamos, por ejemplo, que el$W_1,\ldots,W_n\sim\mathrm{i.i.d.}\,N(0,1)$$\bar W=(W_1+\cdots + W_n)/n$$Z_j= W_j-\bar W$$j=1,\ldots,n$. Entonces el vector de $(Z_1,\ldots,Z_n)$ satisface la restricción de que $Z_1+\cdots+Z_n=0$ y tiene una distribución normal multivariante cuya varianza es un singular de la matriz en la que todos fuera de la diagonal medidas son negativos. Por lo que el $Z$s están negativamente correlacionados unos con otros. Ahora supongamos $x_1=\cdots=x_n=0$. A continuación, $\Pr(Z_n>x_n) = 1/2$ pero $\Pr(Z_n>x_n \mid \forall i\le n-1\ Z_i>x_i) =0$.
Así, en algunos casos la respuesta es "no".
