Si $(m,n)\in\mathbb Z_+^2$ satisface $3m^2+m = 4n^2+n$ $(m-n)$ es un cuadrado perfecto.

Question

Me encontré con esta pregunta en otro foro. La pregunta es:

$$ \text{If $m,n\in \mathbb{Z}_+$ such that $3m^2+m=4n^2+n$, then $(m-n)$ is a perfect square.}$$

He logrado parcialmente probar esta usando esta pregunta como la motivación de la siguiente manera.

Deje $m>n$$k^2 = m-n$. El problema, entonces, se vuelve a mostrar $k$ es un número entero. Haciendo la sustitución de $m=n+k^2$ tenemos

$$3(n+k^2)^2+(n+k^2) = 4n^2+n$$

Y la solución para $n$ rendimientos

$$n = 3k^2\pm |k|\sqrt{12k^2+1}$$

Por lo $n$ será un número entero si y sólo si $12k^2+1$ es un cuadrado perfecto. Aquí es donde la pregunta anterior. Queremos que todas las soluciones $(k,N)$$12k^2+1=N^2$, es decir, $$N^2-12k^2=1$$ El uso de la ecuación de Pell y Wikipedia (Ecuación de Pell) como guía, podemos encontrar la solución fundamental como $y_1=k=2, x_1=N=7$, y por lo tanto todas las otras soluciones se $x_i, y_i$ donde $$x_i+y_i\sqrt{12} = \left(7+2\sqrt{12}\right)^i.$$

No es difícil ver $y_i$ es un número entero para todos los $i$. Mi conclusión es: Si $(m,n)$ es una solución, a continuación,$k^2=(m-n)\in S=\{y_i^2\}_{i=1}^{\infty} = \{2^2, 28^2, 390^2,...\}$.

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Mis preguntas son:

$\ \ \ \bullet$ I hecho la suposición de que $m>n$, es así de fácil mostrar?

$\ \ \ \bullet$ Si $y\in S$, hay siempre una solución de $(m,n)$$(m-n)=y$ ?

$\ \ \ \bullet$ Lo más importante: ¿hay un más fácil manera de demostrar esto?

Answer 1

Reescribir la ecuación original $3m^2+m=4n^2+n$

$$12m^2+12n^2+m-n-24mn=16n^2+9m^2-24mn.$$

Este factores como

$$(m-n)(12(m-n)+1)=(4n-3m)^2.$$

Desde $\gcd(m-n,12(m-n)+1)=1$, se deduce que el $m-n$ es un cuadrado perfecto, como se desee.

Answer 2

Todas las soluciones de $u^2 - 3 v^2 = 1$ son conocidos. Su relación es $$ (12m+2)^2 - 3 (8n+1)^2 = 1 $$

It is going to turn out that the values of $a = \sqrt {m-n}$ obey $$ a_{j+2} = 14 a_{j+1} - a_j, $$ as $14 \cdot 28 -2 = 390.$ Just one of those things.

Meanwhile, given $u^2 - 3 v^2 = 1,$ la siguiente solución es $$ (2u+3v)^2 - 3 (u+2v)^2 =1. $$ One must pick out those with $u \equiv 2 \pmod {12}$ and $v \equiv 1 \pmod {8}$

MORE TO COME... $$ u = 12 m + 2, v = 8n + 1; m = (u-2)/12; n = (v-1)/8. $$

Alright, your starting pair $$ (u,v) = (362,209). $$ Para obtener el siguiente par con la correcta mod 12, 8 uso $$ (97 u + 168 v, 56 u + 97 v). $$ Esta es la matriz identidad mod 8 y ha fila superior (1,0) mod 12. Nota $$ \left( \begin{array}{rr} 2 & 3 \\ 1 & 2 \end{array} \right)^4 = \left( \begin{array}{rr} 97 & 168 \\ 56 & 97 \end{array} \right) $$

Your fourth values are

$$ u = 2,642,885,282; \; \; \; v = 1,525,870,529; $$ $$ m = 220,240,440; \; \; \; n = 190,733,816; $$ $$ m-n = 29,506,624 = 5432^2; $$ $$ 14 \cdot 390 - 28 = 5432. $$

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   u= 362   v= 209
   m= 30   n= 26
   diff= 4   sqrt= 2
30 + 26 = 56
    56 / 2  =  28
14 * 2 - 0  =  28

   u= 70226   v= 40545
   m= 5852   n= 5068
   diff= 784   sqrt= 28
5852 + 5068 = 10920
 10920 / 28  =  390
14 * 28 - 2  =  390

   u= 13623482   v= 7865521
   m= 1135290   n= 983190
   diff= 152100   sqrt= 390
1135290 + 983190 = 2118480
2118480 / 390  =  5432
14 * 390 - 28  =  5432

   u= 2642885282   v= 1525870529
   m= 220240440   n= 190733816
   diff= 29506624   sqrt= 5432
220240440 + 190733816 = 410974256
410974256 / 5432  =  75658
 14 * 5432 - 390  =  75658

   u= 512706121226   v= 296011017105
   m= 42725510102   n= 37001377138
   diff= 5724132964   sqrt= 75658
42725510102 + 37001377138 = 79726887240
79726887240 / 75658  =  1053780
  14 * 75658 - 5432  =  1053780

   u= 99462344632562   v= 57424611447841
   m= 8288528719380   n= 7178076430980
   diff= 1110452288400   sqrt= 1053780
8288528719380 + 7178076430980 = 15466605150360
15466605150360 / 1053780  =  14677262
    14 * 1053780 - 75658  =  14677262

   u= 19295182152595802   v= 11140078609864049
   m= 1607931846049650   n= 1392509826233006
   diff= 215422019816644   sqrt= 14677262
1607931846049650 + 1392509826233006 = 3000441672282656
3000441672282656 / 14677262  =  204427888
    14 * 14677262 - 1053780  =  204427888

   u= 3743165875258953026   v= 2161117825702177665
   m= 311930489604912752   n= 270139728212772208
   diff= 41790761392140544   sqrt= 204427888
311930489604912752 + 270139728212772208 = 582070217817684960
582070217817684960 / 204427888  =  2847313170
     14 * 204427888 - 14677262  =  2847313170

   u= 726154884618084291242   v= 419245718107612602961
   m= 60512907051507024270   n= 52405714763451575370
   diff= 8107192288055448900   sqrt= 2847313170
60512907051507024270 + 52405714763451575370 = 112918621814958599640
112918621814958599640 / 2847313170  =  39657956492
       14 * 2847313170 - 204427888  =  39657956492

   u= 140870304450033093547922   v= 81331508195051142796769
   m= 11739192037502757795660   n= 10166438524381392849596
   diff= 1572753513121364946064   sqrt= 39657956492
11739192037502757795660 + 10166438524381392849596 = 21905630561884150645256
21905630561884150645256 / 39657956492  =  552364077718
        14 * 39657956492 - 2847313170  =  552364077718

   u= 27328112908421802064005626   v= 15777893344121814089970225
   m= 2277342742368483505333802   n= 1972236668015226761246278
   diff= 305106074353256744087524   sqrt= 552364077718
2277342742368483505333802 + 1972236668015226761246278 = 4249579410383710266580080
4249579410383710266580080 / 552364077718  =  7693439131560
         14 * 552364077718 - 39657956492  =  7693439131560

   u= 5301513033929379567323543522   v= 3060829977251436882311426881
   m= 441792752827448297276961960   n= 382603747156429610288928360
   diff= 59189005671018686988033600   sqrt= 7693439131560
441792752827448297276961960 + 382603747156429610288928360 = 824396499983877907565890320
824396499983877907565890320 / 7693439131560  =  107155783764122
          14 * 7693439131560 - 552364077718  =  107155783764122

   u= 1028466200469391214258703437642   v= 593785237693434633354326844689
   m= 85705516705782601188225286470   n= 74223154711679329169290855586
   diff= 11482361994103272018934430884   sqrt= 107155783764122
85705516705782601188225286470 + 74223154711679329169290855586 = 159928671417461930357516142056
159928671417461930357516142056 / 107155783764122  =  1492487533566148
            14 * 107155783764122 - 7693439131560  =  1492487533566148

   u= 199517141378027966186621143359026   v= 115191275282549067433857096442785
   m= 16626428448168997182218428613252   n= 14398909410318633429232137055348
   diff= 2227519037850363752986291557904   sqrt= 1492487533566148
16626428448168997182218428613252 + 14398909410318633429232137055348 = 31025337858487630611450565668600
31025337858487630611450565668600 / 1492487533566148  =  20787669686161950
            14 * 1492487533566148 - 107155783764122  =  20787669686161950

   u= 38705296961136956048990243108213402   v= 22346513619576825647534922383055601
   m= 3225441413428079670749186925684450   n= 2793314202447103205941865297881950
   diff= 432127210980976464807321627802500   sqrt= 20787669686161950
3225441413428079670749186925684450 + 2793314202447103205941865297881950 = 6018755615875182876691052223566400
6018755615875182876691052223566400 / 20787669686161950  =  289534888072701152
             14 * 20787669686161950 - 1492487533566148  =  289534888072701152

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Answer 3

Ya he criticado su solución, me sentí obligado a proporcionar. Además, es un problema interesante. Así que, aquí está.

Lo que quiero mostrar es que si $(m,n)$ es un número entero solución a la ecuación, y $(m^*,n^*)$ es la siguiente solución (vamos el fin de todas las soluciones), entonces

$$\sqrt{m^*-n^*}=\frac{m+n}{\sqrt{m-n}} \tag{*}$$

así que, por inducción, si $\sqrt{m-n}$ es un número entero, $\sqrt{m^*-n^*}$ es racional y su plaza es integral, por lo tanto, es un entero. El primer no-trivial solución $m=30$, $n=26$ (ver más abajo) da $\sqrt{30-26}=2$.

Paso 0. Tenga en cuenta que el uso de la ecuación de la declaración del problema,

$$(m+n)^2=2(m^2+n^2)-(m-n)^2=2(m-n)(7m+7n+2)-(m-n)^2$$

así que con el fin de mostrar (*) tenemos que mostrar que

$$m^*-n^*=\frac{(m+n)^2}{m-n}=13m+15n+4 \tag{**}$$

Ahora, este es un muy sencillo ejercicio.

Paso 1. La ecuación de Pell. Podemos reescribir la ecuación, de modo que se parece más a una ecuación de Pell:

$$3(m+1/6)^2-(2n+1/4)^2=1/48$$

o, multiplicando a hacer todos los coeficientes integral,

$$(12m+2)^2-3(8n+1)^2=x^2-3y^2=1$$

Paso 2. Resolver la ecuación de Pell. La solución inicial correspondiente a$m=n=0$$(x,y)=(2,1)$. Así, los demás se dan por recursión:

$$x'=2x+3y,y'=x+2y$$

Necesitamos filtrar aquellas que dan valores no enteros para$m$$n$. La cadena de $(x\mod 12,y\mod 8)$ a partir de la primera solución: $(2,1)\rightarrow(7,4)\rightarrow(2,7)\rightarrow(1,0)\rightarrow(2,1)\rightarrow\dots$. Así, las soluciones de $(x,y)$ dando entero $m$ $n$ son exactamente 4 pasos de distancia el uno del otro.

$$\left(\begin{array}{} x^* \\ y^* \end{array}\right)=\left(\begin{array}{} x'''' \\ y'''' \end{array}\right)=\left(\begin{array}{} 2 & 3 \\ 1 & 2 \end{array}\right)^4\left(\begin{array}{} x \\ y \end{array}\right)=\left(\begin{array}{} 97 & 168 \\ 56 & 97 \end{array}\right)\left(\begin{array}{} x \\ y \end{array}\right)$$

Y, a partir de aquí, obtenemos (**):

$$24(m^*-n^*)=2(x^*-2)-3(y^*-1)=2x^*-3y^*-1=26x+45y-1=$$ $$=312m+52+360y+45-1=24(13m+15n+4)$$

Answer 4

EDICIÓN, diciembre de 2014: me puse las páginas de los cuatro libros en OTROS, con el prefijo de indefinite_binary. Buell es mi favorito por lo que podemos ver aquí.

Bien, completar la prueba, a mi manera. Yo había pensado que el OP sería capaz de terminar con el uso explícito de la raíz cuadrada de poderes como en su post, pero que es difícil de manejar, y yo en realidad nunca logró terminar la prueba de que manera. Dado el grado-dos recurrencias a continuación, las fórmulas pueden ser recuperados sin tanta dificultad. Comenzamos con el indefinido binario forma cuadrática $x^2 - 14 xy + y^2.$ obtenemos un "automorph" o isometría de la forma de la matriz identidad

$$ \left( \begin{array}{rr} 14 & 1 \\ -1 & 0 \end{array} \right) \left( \begin{array}{rr} 1 & -7 \\ -7 & 1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{rr} 14 & -1 \\ 1 & 0 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{rr} 1 & -7 \\ -7 & 1 \end{array} \right). $$

Esto significa (cheque). que, si $u = 14 x - y, v = x,$ $u^2 - 14 uv+v^2 = x^2 - 14 xy+y^2. $ En particlar, con $s_0 = 0, s_1 = 2, s_2 = 28, s_3 = 390,s_4 = 5432$ $s_{j+2}= 14 s_{j+1} - s_j,$ $s_{j+2}^2 - 14 s_{j+2}s_{j+1}+s_{j+1}^2 = s_{j+1}^2 - 14 s_{j+1}s_j+s_j^2. $ Esta comienza a las 4 y sigue siendo 4, por lo que $$ s_{j+1}^2 - 14 s_{j+1}s_j+s_j^2 = 4. $$

Siguiente, supongamos que tenemos un tipo especial de automorph correspondiente a una diagonal de forma indefinida, que es enteros $\alpha^2 - \beta \gamma = 1,$ y la relación $$ \left( \begin{array}{r} x_{j+1} \\ y_{j+1} \end{array} \right) = \left( \begin{array}{rr} \alpha & \beta \\ \gamma & \alpha \end{array} \right) \left( \begin{array}{r} x_{j} \\ y_{j} \end{array} \right) . $$ Entonces $$ \left( \begin{array}{r} x_{j+2} \\ y_{j+2} \end{array} \right) = \left( \begin{array}{rr} \alpha^2 + \beta \gamma & 2 \alpha \beta \\ 2 \alpha \gamma & \alpha^2 + \beta \gamma \end{array} \right) \left( \begin{array}{r} x_{j} \\ y_{j} \end{array} \right)= \left( \begin{array}{rr} 2 \alpha^2 -1 & 2 \alpha \beta \\ 2 \alpha \gamma & 2 \alpha^2 -1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{r} x_{j} \\ y_{j} \end{array} \right) . $$

Lo que resulta evidente es que $$ x_{j+2} + x_j = 2 \alpha x_{j+1}, \; \; \; y_{j+2} + y_j = 2 \alpha y_{j+1}. $$

Para este problema, he utilizado las cartas de $u_j = 12 m_j + 2, v_j = 8 n_j + 1.$ Las letras griegas se $\alpha = 97, \beta = 168, \gamma = 56.$ Nos encontramos con que $$ u_{j+2} = 194 u_{j+1} - u_j, \; \; v_{j+2} = 194 v_{j+1} - v_j. $$ Para el original de las letras, $$ m_{j+2} = 194 m_{j+1} - m_j + 32, \; \; n_{j+2} = 194 n_{j+1} - n_j + 24. $$ Así, $$ (m-n)_{j+2} = 194 (m-n)_{j+1} - (m-n)_{j} + 8. $$

Sabemos que $(m-n)_{j}$ está de acuerdo con $s_j^2$ pequeña $j.$ La inducción paso es mostrar que $s_j^2$ satisface el mismo grado dos lineal de la recursividad. Tenemos que demostrar que el $ s_{j+2}^2 = 194 s_{j+1}^2 - s_{j}^2 + 8. $

PRUEBA. Sabemos $s_{j+2}= 14 s_{j+1} - s_j,$ $ s_{j+1}^2 - 14 s_{j+1}s_j+s_j^2 = 4. $ $$ s_{j+2}^2 = 196 s_{j+1}^2 - 28 s_{j+1} s_{j} + s_{j}^2. $$ $$ 8 = 2 s_{j+1}^2 - 28 s_{j+1}s_j+ 2 s_j^2. $$ Restar $$ s_{j+2}^2 -8 = 194 s_{j+1}^2 - s_{j}^2. $$ $$ s_{j+2}^2 = 194 s_{j+1}^2 - s_{j}^2 + 8. $$ COMPARAR $$ (m-n)_{j+2} = 194 (m-n)_{j+1} - (m-n)_{j} + 8. $$ Así, $$ m_j - n_j = s_j^2 $$ $$ \bigcirc \bigcirc \bigcirc \bigcirc \bigcirc \bigcirc \bigcirc \bigcirc \bigcirc \bigcirc \bigcirc \bigcirc \bigcirc $$

Answer 5

Se convirtió en interesante para el caso General. Cuando la diferencia es un cuadrado?

Escribir por lo que la ecuación:

$$aX^2+X=bY^2+Y$$

Si utiliza las soluciones de la ecuación de Pell.

$$p^2-abs^2=\pm1$$

A continuación, las decisiones pueden ser grabadas.

$$X=\pm(p+bs)s$$

$$Y=\pm(p+as)s$$

$p,s$ - puede ser de cualquier signo. Así que la diferencia va a ser igual.

$$X-Y=\pm(b-a)s^2$$

Diferencia de medias de las soluciones de la plaza cuando la diferencia de los coeficientes de la plaza.