Cuando es el grupo de unidades en $\mathbb{Z}_n$ cíclico?

Question

Deje $U_n$ denotar el grupo de unidades en $\mathbb{Z}_n$ con la multiplicación modulo $n$. Es fácil demostrar que este es un grupo. Mi pregunta es ¿cómo caracterizar la $n$ por que es cíclico. Desde el grupo multiplicativo de un campo finito es cíclica, es decir, para todos los $n$ prime, es cíclico. Sin embargo, creo que para ciertos compuestos de $n$ también es cíclico.

La búsqueda a través de los últimos mensajes activado este, donde hubo una respuesta que contiene la frase "En el número de la teoría de situaciones no son coherentes cosas que pueden decirse, y/pero en general, creo que nada de lo decisivo que puede ser dicho".

¿Cuáles son los número teórico de situaciones?

Gracias

Answer 1

$U_n$ es cíclico si y sólo si $n = 1$, $n = 2$, $n = 4$, $n = p^k$ o $n = 2p^k$ donde $p$ es cualquier extraño prime.

Demostrando esto requiere un poco de trabajo, pero las pruebas se pueden encontrar en muchos de pregrado libros de texto sobre la teoría de números y álgebra abstracta.

La idea básica es esta. Si un entero $n > 1$ ha factorización en primos $n = p_1^{a_1} \ldots p_t^{a_t}$, $U_n \cong U_{p_1^{a_1}} \times \cdots \times U_{p_t^{a_t}}$ por el teorema del resto Chino. Por lo tanto, para describir la estructura de $U_n$, es suficiente con considerar el caso en que $n$ es una potencia de un primo. Es posible demostrar que el $U_{2^k} \cong \mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_{2^{k-2}}$$k \geq 3$. También, $U_{p^k}$ es cíclico para cualquier extraño prime $p$$k \geq 1$. Cuando usted tiene estos resultados, la búsqueda de la $n$ que $U_n$ es cíclico no es demasiado difícil.

Answer 2

El grupo es cíclico al $n$ es una potencia de un extraño prime, o dos veces la potencia de una extraña prime, o $1$, $2$, o $4$. Eso es todo.

Generalmente este es el número de la teoría de la lengua: no es una raíz primitiva módulo $n$ precisamente bajo las condiciones dadas anteriormente. Estos resultados son originalmente debido a Gauss ("disquisitiones Arithmeticae").