Ayuda con la prueba de que $\mathbb Z[i]/\langle 1 - i \rangle$ es un campo.

Question

He estado teniendo muchos problemas para enseñarme anillos, tanto que incluso las pruebas "sencillas" me resultan realmente difíciles. Creo que por fin estoy empezando a entenderlo, pero sólo para estar seguro podría alguien por favor revise esta prueba de que $\mathbb Z[i]/\langle 1 - i \rangle$ es un campo. Gracias.

Demostración: Obsérvese que $$\langle 1 - i \rangle\\ \Rightarrow 1 = i\\ \Rightarrow 2 = 0.$$ Así, todos los elementos de la forma $a+ bi + \langle 1 - i \rangle$ puede reescribirse como $a+ b + \langle 1 - i \rangle$ . Pero como $2=0$ esto implica que los elementos que quedan se pueden escribir como $1 + \langle 1 - i \rangle$ o $0 + \langle 1 - i \rangle$ . Así $$ \mathbb Z[i]/ \langle 1 - i \rangle = \{ 0+ \langle 1 - i \rangle , 1 + \langle 1 - i \rangle\}. $$

Obviamente, se trata de un anillo conmutativo con unidad y sin divisores cero, por lo que es un dominio integral finito y, por tanto, un campo. $\square$

Answer 1

Tu prueba sólo demuestra que hay como mucho dos elementos. Así que también tienes que comprobar que estos dos elementos difieren, es decir, que $1-i$ no es una unidad. Pero, en cambio, también puedes hacerlo directamente, sin ningún elemento:

$\mathbb{Z}[i]/(i-1)=\mathbb{Z}[x]/(x^2+1)/(x-1)=\mathbb{Z}/(1^2+1)=\mathbb{F}_2$ .

Answer 2

Tu respuesta es estupenda, pero también me gustaría dar un punto de vista diferente.

Un ejemplo estándar de primer o segundo dominio euclidiano son los enteros de Gauss $\mathbb{Z}[i]$ por lo que, en particular, los enteros de Gauss forman un dominio ideal principal. También sabemos que en los EPI, los ideales primos no nulos son maximales. Por tanto, si demostramos que $1 - i$ es un primo de Gauss, entonces $\langle 1 - i \rangle$ sería un ideal primo y, por tanto, un ideal maximal. Por lo tanto, el cociente por él daría un campo.

¿Cómo demostramos que $1 - i$ ¿es primo? Pues bien, calcula su norma (a partir de la norma del dominio euclídeo, donde $|x + iy| = x^2 + y^2$ . Su norma es $2$ . Las normas son multiplicativas, por lo que si $1-i = ab$ entonces $2 = |a||b|$ . Pero su norma también es un número entero, y $2$ es un primo (en los reales). Así, $1-i$ es un primo.

Y así lo tenemos.

Answer 3

También hay que demostrar que el anillo cociente es $\ne \{0\}.\:$ A continuación encontrará una prueba completa. $\rm\quad \Bbb Z\stackrel{h}{\to}\, \Bbb Z[{\it i}\,]/(1\!-\!{\it i}\,)\:$ es $\rm\,\color{#0b0}{\bf onto,\:}$ por $\rm\:mod\,\ 1\!-\!{\it i}\,:\ {\it i}\,\equiv 1\phantom{\dfrac{|}{|}}\!\!\!\Rightarrow\:a\!+\!b\,{\it i}\,\equiv a\!+\!b\in \Bbb Z\ $
$\rm\quad n\in ker\ h\iff 1\!-\!{\it i}\,\mid n\iff\phantom{\dfrac{|}{|_|}}\!\!\!\!\!\!\! \dfrac{n}{1\!-\!{\it i}}\, =\, \dfrac{n\,(1\!+\!{\it i}\,)}2\,\in\, \Bbb Z[{\it i}\,] \iff \color{#c00}2\mid n\ $
$\rm\quad So \ \ \ \Bbb Z[{\it i}\,]/(1\!-\!{\it i}\,)\, \color{#0b0}{\bf =\ Im\:h}\,\cong\, \Bbb Z/ker\:h \,=\, \Bbb Z/\color{#c00}2\,\Bbb Z\, =\, \Bbb F_2\ $ $\ \ $ QED