Es $0^\omega=1$?

Question

De acuerdo a una definición de ordinal exponenciación definido en Kunen de la Teoría de conjuntos: Una Introducción a la Independencia de las Pruebas (p 26), se define

$$\begin{align} \alpha^0&=1\\ \alpha^{(\beta+1)}&=\alpha^\beta\cdot\alpha\\ \alpha^\beta&=\bigcup\{\alpha^\gamma:\gamma<\beta\}&\text{if }\beta\text{ is a limit}. \end{align}$$

Así, es correcto concluir que el$0^\omega=1$, ¿verdad? (De hecho, tenemos $0^\beta=1$ de todos los límites de $\beta$).

Esto es bastante sorprendente para mí, ya que nunca piensa que otros exponentiations de $0$, con la excepción de $0^0$, puede ser $1$.

Además, existe otra definición de ordinal exponenciación definido en Kunen (p 43). Se puede definir de la siguiente manera.

Vamos

$$F(\alpha,\beta)=\{f\in{^\beta\alpha}:|\{\xi:f(\xi)\ne0\}|<\omega\}.$$

Para cualquier $f,g\in F(\alpha,\beta)$ tal que $f\ne g$, decir $f\lhd g$ fib $f(\xi)<g(\xi)$ donde $\xi$ es el más grande ordinal tal que $f(\xi)\ne g(\xi)$. A continuación,$\alpha^\beta=\operatorname{type}(\langle F(\alpha,\beta),\lhd\rangle)$.

El libro afirma que esta definición es equivalente a la definición anterior.

Pero, como podemos ver, para $0^\omega$, podemos considerar $F(0,\omega)$,$\emptyset$. Por lo $\operatorname{type}(\langle F(0,\omega),\lhd\rangle)=0$.

Que uno es el correcto, o si usted piensa que ninguno de ellos es malo, que es mucho más sentido para usted?

Answer 1

Enderton los Elementos de la Teoría de conjuntos utiliza una definición equivalente a la suya, excepto que él especial-casos $0$ para evitar este problema:

Considere la posibilidad de ... fijo distinto de cero ordinal $\alpha$. Nos proponemos definir $\alpha^\beta$ de tal manera ... $\alpha^\lambda=\sup\{\alpha^\beta\,|\,\beta\in\lambda\}$ un límite ordinal $\lambda$ ...

Hay un problema especial en la definición de las $0^\beta$. Si fuéramos a seguir ciegamente [las definiciones anteriores], tendríamos $0^\omega=1$. Esto es indeseable, que es nuestra razón de haber especificado en el anterior que $\alpha$ es un fijo distinto de cero ordinal. Simplemente podemos definir $0^\beta$ directamente: $0^0=1$$0^\beta=0$$\beta\neq0$.

Answer 2

Ordinal exponenciación es en realidad define como un límite al $\beta$ es un ordinal límite: $\alpha^\beta = \lim_{\gamma < \beta} \alpha^\gamma$. Sucede que:

• Cuando una secuencia $(\delta_\gamma)_\gamma$ de los ordinales es no decreciente, $\lim_\gamma \delta_\gamma = \bigcup_\gamma \delta_\gamma = \sup_\gamma \delta_\gamma$;
• Al $\alpha \neq 0$, la secuencia de $(\alpha^\gamma)_\gamma$ es no decreciente.

Así que la fórmula que dio es válida en todos los casos, excepto cuando se $\alpha = 0$. Pero, por supuesto, al $\alpha = 0$ que la secuencia disminuye una vez, porque $0^0 = 1$$0^1 = 0$.

Answer 3

¿De dónde sacaste esa definición? Que no debería estar a la derecha. Está bien si usted reemplace la línea 3 (límite de $\beta$ ordinal) por $$\alpha^\beta=\lim_{\gamma<\beta} \alpha^\gamma$$ A continuación, la secuencia que se obtiene es $$1,0,0,0,\ldots$$ y el límite es de $0$ como debe ser.

Answer 4

Acabo de mirar en Jech de la Teoría de conjuntos (p 23), como los comentarios anteriores, se define

$$\alpha^\beta=\lim\limits_{\xi\to\beta} \alpha^\xi \text{ for all limit }\beta>0,$$

Donde la definición de límite está en p 22. Para un límite de $\alpha$, el límite de un no decreciente secuencias de números ordinales $\langle\gamma_\xi:\xi<\alpha\rangle$ está definido (lo mismo que @Najib Idrissi) por

$$\lim\limits_{\xi\to\alpha}\gamma_\xi=\sup\{\gamma_\xi:\xi<\alpha\}.$$

Todavía no tengo la respuesta si $0^\omega$ $0$ o $1$ a partir de esta definición, ya que la secuencia de $\langle 0^n:n<\omega\rangle$ disminuye la vez de $user2345214 dijo.

Estoy de acuerdo con @Chris Culter que $0^\beta$ debe ser definido por separado a partir de esas definiciones, y así, siento que $0^\omega$ debe $0$.