Cómo saber si algún poder de mi entero de la matriz es la identidad?

Question

Dado un $n\times n$-matriz $A$ con el entero de las entradas, me gustaría decidir si hay algunos $m\in\mathbb N$ tal que $A^m$ es la matriz identidad.

Puedo resolver esto por cuanto $$ como una compleja matriz de computación y su forma normal de Jordan; equivalentemente, puedo calcular los autovalores y comprobar si son las raíces de $1$ y si sus geométrica y algebraica de multiplicidades coinciden.

Hay otras formas de resolver este problema, tal vez aprovechando el hecho de que $Un$ ha entero entradas? Edit: estoy interesado en las condiciones que son fáciles de comprobar para las familias de matrices en una prueba.

Edit: Gracias a todos por esta gran cantidad de respuestas. Me llevará algo de tiempo para leer todos ellos cuidadosamente.

Answer 1

Las siguientes condiciones en un $$ n $n$ entero de la matriz $A$ son equivalentes:

(1) $A$ es invertible y de orden finito.

(2) El polinomio mínimo de $A$ es un producto de distintas cyclotomic polinomios.

(3) Los divisores elementales de $A$ se cyclotomic polinomios.

Answer 2

Si $a$ es un $n\times n$ entero de la matriz, y $A^m=1$, entonces $\phi(m)\le n$, donde $\phi$ es de Euler phi-función (ya que $\phi(m)$ es el grado del polinomio mínimo para el $m$th raíces de la unidad, y $n$ es el grado del polinomio característico de $$). Dado $n$, hay sólo un número finito $m$ con $\phi(m)\le$ n, y un poco de primaria de la teoría de números le permite encontrar la mayor $m$. Así que todo lo que tienes que hacer es calcular $A^j$ para todo $j$ a que la mayor $m$; en caso de no obtener la matriz identidad por entonces, nunca lo hará.

Esto puede tomar menos de cálculo de la búsqueda de los valores propios, Jordania, etc.

EDIT: Jyrki notas en los comentarios de que no es tan fácil. Todavía se puede salvar.

EDITAR MÁS: UN muy buen papel, que considera, entre otras cosas, la cuestión de la máxima orden de un $n\times n$ matriz con el entero de las entradas es de James Kuzmanovich y Andrey Pavlichenkov, grupos Finitos de matrices cuyas entradas son números enteros, La American Mathematical Monthly Vol. 109, Nº 2, Febrero., 2002, páginas 173-186. Con respecto a Geoff Robinson comentario, "es mayor que el de Landau de la función, pero no por mucho," los autores concluyen que la relación entre las dos funciones es de menos de 51 a $n\lt100,000 dólares (el máximo en el rango de ser 50.978, logrado por primera vez en $n=22434$), y se admite no saber si la relación es ilimitado.

Answer 3

Respuesta modificada en vista de Rasmus comentario:

No estoy seguro de lo útil que es, pero he aquí una observación. Si $a$ tiene orden finito, claramente $\{\|A^{m}\|: m \in \mathbb{N} \}$ es limitada (cualquier matriz norma de atención para que usted pueda elegir va a hacer).

Por otro lado, si el semisimple parte (en su Jordan descomposición como una compleja matriz) de $A$ no tiene orden finito, al menos uno de sus autovalores tiene valor absoluto mayor que $1$, entonces $\{ \|A^{m}\| :m \in \mathbb{N} \}$ es ilimitado.

(Estoy usando el hecho de que todos los autovalores de $Un$ algebraicos son números enteros, y son cerrados bajo algebraicas conjugación: es una muy antigua teorema (y divertido para probar) que si todos algebraica de los conjugados de una expresión algebraica entero $\alpha$ son de un valor absoluto de $1$, entonces $\alpha$ es una raíz de la unidad).

Por otro lado, si el semi-simple parte de $Un$ tiene orden finito, pero $$ sí no, entonces (un conjugado de) algún poder de $A,$ decir $A^h$, (como una compleja matriz) tiene un bloque de Jordan de tamaño mayor que $1$ asociado al autovalor $1$. A continuación, las entradas de los poderes de $A^h$ convertido arbitrariamente grande, y $\{ \| A^{m} \|: m \in \mathbb{N} \}$ es todavía ilimitado.

Answer 4

tenemos la clasificación de dicha matriz en el caso general,

aquí está el documento:

Reginald Koo, Una Clasificación de las Matrices de Orden Finito de más de $\mathbb{C, R}$ y $\mathbb{Q}$, Mathematics Magazine, Vol. $76$, No. $2$ (Abr., $2003$), pp. $143-148$.