¿Qué es $\lim _{x\to \infty }\left(\frac{e^x}{x^n}\right)$?

Question

¿Qué es $\lim _{x\to \infty }\left(\frac{e^x}{x^n}\right)$ ?

Answer 1

Recordemos que $$ e^x=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^k}{k!}=1+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+\ldots+\frac{x^n}{n!}+\ldots $$ a continuación, para cada uno de los fijos $n$ $x \to +\infty$ , se obtiene $$ e^x>\frac{x^{n+1}}{(n+1)!} $$ y $$ \frac{e^x}{x^n}>\frac{x}{(n+1)!} \longrightarrow +\infty, \quad\text{como} \quad x \+\infty, $$ and the desired limit is $ +\infty$.

Answer 2

El límite es de $+\infty$.

Una forma de ver que es el uso de la regla de L'Hospital. Diferenciar el numerador y el denominador $n$ a veces, y se obtiene $$\frac{e^x}{n!}$$ que claramente diverge a infinito positivo.

Answer 3

Función exponencial aumenta más rápido que cualquier función polinómica. Usted puede imaginar esta manera - una función exponencial consta de polinomios de progresivamente más y más grados sumados. Para cualquier grado $n$ polinomio que se comparan contra, exponencial tendrá términos de grado $n+1$, y más allá también. (De acuerdo con cada vez más pequeños, coeffs, pero con el tiempo que está tomando el límite de $x \rightarrow \infty$, por lo que apenas ayudando!)

Como $x \rightarrow \infty$, el numerador aumenta mucho más rápido que el denominador, y la expresión diverge (tiende a $\infty$).

Answer 4

Otra posibilidad: $$\lim_{x\to\infty}\left(\frac{e^x}{x^n}\right)= \lim_{x\to\infty}\left(\frac{e^{x/n}}{x}\right)^n= \left(\lim_{x\to\infty}\frac{e^{x/n}}{x}\right)^n=\cdots$$