Si $G$ es shellable, a continuación, $G \backslash \{x_i\}$ es shellable?

Question

Un complejo simplicial $\Delta$ sobre el conjunto de vértices $\{x_1,\dots,x_n\}$ es shellable si las facetas de $\Delta$ puede ser ordenó, decir $F_ 1 , . . . , F _s$, de tal manera que para todos los $1 \leq i < j \leq s$, existe alguna $x \in F_ j \backslash F _i$ y algunos $l \in \{1, . . . , j-1\}$$F _j \backslash F_l = \{x\}$. Si $\Delta$ es puro, llamamos a $\Delta$ puro shellable.

Deje $G$ un gráfico. Un conjunto independiente de $G$ es un subconjunto $F \subseteq V (G)$ tal que $e \nsubseteq F$ por cada $e \in E (G)$. La independencia complejo de $G$, que se denota $\Delta(G)$, es el complejo simplicial en $V(G)$ con el conjunto de caras $\Delta(G) = \{F \subseteq V (G) \mid F$ es un conjunto independiente de $G\}$. Vamos a decir que $G$ es shellable si $\Delta(G)$ es shellable.

Pregunta: Si $G$ es shellable, a continuación, $G \backslash \{x_i\}$ es shellable ? (donde $x_i$ es cualquier vértice)

Supongamos $\{x_i\}=N_G(x_j)$ donde $x_j$ cualquier vértice en $G$. A continuación, $G'=G\backslash(\{x_j\} \cup N_G(x_j))$ es shellable del teorema 2.9 , por tanto,$G'=G\backslash\{x_i\} \cup \{x_j\}$. Por lo tanto $G\backslash \{x_i\}$ es shellable (si un shellable gráfica es una discontinuo de la unión de subdiagramas, a continuación, estos son también shellable (Villarreal, Lema 7.4.2)).

dar algunos consejos

Gracias de antemano

Answer 1

Si $G$ es shellable,a continuación, $G\backslash \{x_i\}$ no necesita ser shellable en general.

Deje $R=k[x_1,\ldots,x_{11}]$

$G$ es shellable (cálculo por Macaulay 2)

Vamos

$\{\{x_1,x_3,x_5,x_7,x_9,x_{11}\}, \{x_2,x_4,x_6,x_8,x_{10}\}, \{x_2,x_5,x_7,x_9,x_{11}\}, \{x_1,x_6,x_8,x_{10}\}$, $\{x_2,x_4,x_7,x_9,x_{11}\}, \{x_1,x_3,x_8,x_{10}\},\{x_2,x_4,x_6,x_9,x_{11}\},\{x_1,x_6,x_9,x_{11}\},\{x_1,x_3,x_5,x_{10}\},\{x_2,x_5,x_{10}\}, \{x_2,x_4,x_6,x_8,x_{11}\}, \{x_1,x_6,x_8,x_{11}\},\{x_1,x_3,x_8,x_{11}\}\}$

se facetas de $\triangle(G)$.

Deje $R=k[x_1,\ldots,x_5,x_7,\ldots,x_{11}]$

Vamos

$\{\{x_1,x_3,x_5,x_7,x_9,x_{11}\},\{x_2,x_4,x_7,x_9,x_{11}\},\{x_2,x_5,x_7,x_9,x_{11}\},\{x_1,x_3,x_8,x_{10}\},\{x_2,x_4,x_8,x_{10}\},\{x_1,x_3,x_5,x_{10}\},\{x_2,x_5,x_{10},\{x_1,x_3,x_8,x_{11}\},\{x_2,x_4,x_8,x_{11}\}\}$

se facetas de $\triangle(G\backslash\{x_6\})$.

$G\backslash\{x_6\}$ no es shellable (cálculo por Macaulay 2)