Probando lo elemental, $\int_0^{2\pi}\log \frac{(1+\sin x)^{1+\cos x}}{1+\cos x} \mathrm{d}x=0$

Question

La ecuación $$ \int_{0}^{2\pi}\log\left(% \left[1 + \sin\left(x\right)\right]^{1 + \cos\left(x\right)} \over 1 + \cos\left(x\right) \right)\,{\rm d}x = 0 $$ . Me ha estado molestando desde hace unos días. Tenga en cuenta que el caso de $0$ a $\pi/2$ ya ha sido tratada anteriormente. Algunos de los problemas de la integral son las singularidades en $x=\pi$ y $x=3\pi/2$ pero como los límites derecho e izquierdo coinciden, la integral no diverge.

Ahora quiero obtener la respuesta mediante sustituciones y manipulaciones algebraicas. Quiero evitar todas las representaciones en serie (Constante de Catalán) y similares.

Creo que hay que dividir las integrales para evitar las singularidades y luego demostrar que son iguales sin evaluarlas explícitamente. Nota:

$$ \int_0^{2\pi} f(x) \mathrm{d}x = \int_0^\pi f(x) \mathrm{d}x + \int_\pi^{3\pi/2} f(x) \mathrm{d}x + \int_{3\pi/2}^{2\pi} f(x) \mathrm{d}x $$ Cálculos explícitos uno tiene $$ \int_0^{\pi/2} f(x)\mathrm{d}x = -1 + 2\log 2 \quad \, \quad \int_{\pi}^{3\pi/2} f(x)\mathrm{d}x = 1 \\ \int_{\pi/2}^{\pi} f(x)\mathrm{d}x = 1 + 4 K-2 \log 2 \quad \, \quad \int_{3\pi/2}^{2\pi} f(x)\mathrm{d}x = -1 - 4 K $$ Dónde $K$ es la constante de Catalán. Ahora la suma es por supuesto cero, pero ¿es posible demostrarlo sin evaluar 4 integrales? Las dos primeras integrales que he podido demostrar $$ \begin{align*} \int_{\pi}^{3\pi/2} f(x)\,\mathrm{d}x & = \frac{1}{2}\int_{\pi}^{3\pi/2} f(x) + f(\pi-x)\,\mathrm{d}x \\ & = \frac{1}{2}\int_{\pi}^{3\pi/2} \log(1+\cos x)\sin x+ \log(1+\sin x)\cos x\,\mathrm{d}x \\ & = \frac{1}{2}\int_0^{-1} \log(1+u) + \log(1+u)\,\mathrm{d}x = 1 \end{align*} $$ ¿Es posible encontrar $$ \int_{3\pi/2}^{2\pi} f(x)\mathrm{d}x + \int_{\pi/2}^{\pi} f(x)\mathrm{d}x = -2 \log 2 $$ ?

Answer 1

Este último se puede encontrar elementalmente sin problemas.

$$\begin{align} I &= \int_{\pi/2}^\pi f(x)\,dx\\ &= \int_{\pi/2}^\pi (1+\cos x)\log (1+\sin x) - \log (1+\cos x)\,dx\tag{$ x = y+ \pi /2 $}\\ &= \int_0^{\pi/2} (1-\sin y)\log (1+\cos y) - \log (1-\sin y)\,dy\\ II &= \int_{3\pi/2}^{2\pi} f(x)\,dx\\ &= \int_{3\pi/2}^{2\pi} (1+\cos x)\log (1+\sin x) - \log (1+\cos x)\,dx \tag{$ y = 2 \pi -x $}\\ &= \int_0^{\pi/2} (1+\cos y)\log (1-\sin y) - \log (1+\cos y)\,dy\\ I+II &= \int_0^{\pi/2} \cos y \log (1-\sin y) - \sin y\log (1+\cos y)\,dy\\ &= \int_0^{\pi/2} \cos y \log (1-\sin y)\,dy\\ &\qquad + \int_0^{\pi/2} (-\sin y)\log (1+\cos y)\,dy\\ &= \int_0^1 \log (1-u)\,du + \int_1^0 \log (1+v)\,dv\\ &= \int_0^1 \log t\,dt - \int_1^2 \log t\,dt\\ &= \left[t\log t-t\right]_0^1 - \left[t\log t-t\right]_1^2\\ &= -1 - (2\log 2 - 2) + (-1)\\ &= -2\log 2. \end{align}$$

Si además utilizamos

$$\begin{align} III &= \int_\pi^{3\pi/2} (1+\cos x)\log (1+\sin x) - \log (1+\cos x)\,dx\\ &= \int_0^{\pi/2} (1-\cos y)\log (1-\sin y) - \log (1-\cos y)\,dy\\ I+II+III &= \int_0^{\pi/2} \log (1-\sin y) - \log (1-\cos y) - \sin y\log (1+\cos y)\,dy, \end{align}$$

los dos primeros sumandos se cancelan (utilice $z = \pi/2-y$ en uno de ellos), dejando

$$I+II+III = -\int_0^{\pi/2} \sin y \log (1+\cos y)\,dy = -\int_0^{\pi/2}\cos x \log (1+\sin x)\,dx.$$

Añadiendo eso a

$$\int_0^{\pi/2} (1+\cos x)\log (1+\sin x) - \log (1+\cos x)\,dx$$

vemos que toda la integral es

$$\int_0^{\pi/2} \log (1+\sin x) - \log (1+\cos x)\,dx$$

que de nuevo se cancela por simetría, y encontramos

$$\int_0^{2\pi} \log \frac{(1+\sin x)^{1+\cos x}}{1+\cos x}\,dx = 0$$

por simetría sin evaluar una sola integral explícitamente.

Answer 2

$$ \begin{align} &\int_0^{2\pi}\log\left(\frac{(1+\sin(x))^{1+\cos(x)}}{1+\cos(x)}\right)\,\mathrm{d}x\tag{1}\\ &=\int_0^{2\pi}\Big[(1+\cos(x))\log(1+\sin(x))-\log(1+\cos(x))\Big]\,\mathrm{d}x\tag{2} \end{align} $$ Desde $\cos(\pi-x)=-\cos(x)$ y $\sin(\pi-x)=\sin(x)$ obtenemos $$ \begin{align} &\int_0^{2\pi}(1+\cos(x))\log(1+\sin(x))\,\mathrm{d}x\tag{3}\\ &=\int_0^{2\pi}(1-\cos(x))\log(1+\sin(x))\,\mathrm{d}x\tag{4}\\ &=\int_0^{2\pi}\log(1+\sin(x))\,\mathrm{d}x\tag{5}\\ &=\int_0^{2\pi}\log(1+\cos(x))\,\mathrm{d}x\tag{6} \end{align} $$ Explicación:
$(4)$ : sustituto $x\mapsto\pi-x$
$(5)$ : promedio $(3)$ y $(4)$
$(6)$ : sustituto $x\mapsto\pi/2-x$

Enchufando $(6)$ en $(2)$ obtenemos $$ \int_0^{2\pi}\log\left(\frac{(1+\sin(x))^{1+\cos(x)}}{1+\cos(x)}\right)\,\mathrm{d}x=0\tag{7} $$