A tu pregunta sobre las habilidades mentales es demasiado vago para admitir una respuesta definitiva, pero voy a tratar de dar algunas reflexiones sobre el tema.
1) Esencialmente, creo firmemente que las diferencias en las habilidades necesarias para abordar las diferentes ramas de las matemáticas son muy exageradas.
En mi experiencia, buen matemáticos son buenos en cualquier tema.
La diferencia entre sus opciones en los resultados de matemáticas de haber vuelto tan grandes que es muy difícil o imposible contar con experiencia en varios temas, a menos que se Serre o Tao.
Pero mi convicción, formado por la introspección y la evidencia anecdótica, es que el tema de los matemáticos terminan con mucho depende de la oportunidad: los libros que se encuentran en una biblioteca cuando de 16 años de edad, los maestros tenían en la high school secundaria o de la universidad, admirados amigos,...
Para ser honesto, algunos temas, como la combinatoria parecen exigir regalos especiales y ser un poco aislado, pero incluso eso está cambiando: estoy pensando en combinatorists como Stanley, que uso bastante sofisticado de la "corriente principal" de las matemáticas, álgebra conmutativa, por ejemplo.
2) en cuanto a la geometría algebraica, ciertamente no requiere de regalos especiales.
Su origen es Descartes y Fermat) fantástica invención de la geometría de coordenadas, lo que permite resolver difíciles problemas de geometría al álgebra, en una esencia puramente mecánico (que por cierto Jean-Jacques Rousseau no le gusta: leer el extracto de sus Confesiones en el epígrafe a Fulton las Curvas Algebraicas, página iii)
En el 19 siglo y en el siglo 20 th hasta alrededor de la década de 1960 duro de la geometría algebraica fue enseñado (bajo el nombre de "geometría analítica") en las escuelas secundarias y un Suizo amigo mío me mostró los problemas se resuelven cuando los 17 años de edad, que habría desconcertado a la mayoría de los Tel. D titulares en la geometría algebraica en la actualidad.
El problema es que, en fin, en particular, para resolver bastantes problemas clásicos y también para la aritmética razones algebraicas de los geómetras como van der Waerden, Zariski, Weil, Serre, Grothendieck,... tenía que introducir bastante sofisticada maquinaria, que culmina en la noción de esquema.
La desafortunada consecuencia de esas novedades es que muchos de los cursos de introducción pasar un semestre (decir) la creación de esta maravillosa maquinaria moderna y no tienen tiempo para mostrar cómo se aplican a problemas concretos.
La buena noticia es que un antídoto contra este estado de cosas existe: se llama matemáticas.stackexchange !
Estoy sorprendido por la calidad, la concreción y la pertinencia de muchas de las preguntas y respuestas relativas a la geometría algebraica aquí, y sólo puedo aconsejar a convertirse en un usuario frecuente de nuestro sitio: sólo tiene que utilizar la etiqueta [(algebraica geometría)] y de iniciar la lectura, la pluma en la mano!
