Ya que hay agujeros en el $\mathbb{Q}$ hemos construido $\mathbb{R}$ con el fin de llenar estos huecos. Pero me preguntaba por qué no utilizamos $\mathbb{C}$ o algún otro sistema de numeración que es aún más grande como el número principal del sistema. También me pregunto ¿cuáles son las implicaciones del descubrimiento de un mayor número de sistema. Podría alguien explicar brevemente a mí?
Respuestas
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No hay ningún "principal" del sistema de numeración. Hacemos un estudio de los reales a decir cosas acerca de los reales, el estudio de los números complejos a decir cosas acerca de los números complejos, el estudio de los números enteros a decir cosas acerca de los números enteros, y así sucesivamente. Todos estos conjuntos son muy interesantes y vale la pena estudiar en su propio derecho.
Los reales disfrutar de una gran aplicación en la ingeniería, junto con el complejo, pero eso no los hace "especiales" o el "número principal del sistema."
Un mayor número de sistema no iba a ser "descubiertos", sería inventado. Un ejemplo de un número de sistema son los verdaderos cuaterniones de Hamilton.
Pero de nuevo, no hay un "número principal del sistema." Hay muchos bien definidos los conjuntos de objetos, y que son estudiados. Eso es todo.
JacobN
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Como la respuesta anterior, dijo, todo depende de lo que las propiedades que te interesan. Los enteros son mejores para los modelos discretos de las cosas; los racionales son ideales para realizar cálculos aritméticos; los reales y/o números complejos son necesarios cuando se quiere hacer el análisis/cálculo.
Los reales frente a los números complejos tienen diferentes beneficios y, por tanto, diferentes aplicaciones. Desde $\mathbb{C}$ es algebraicamente cerrado (cada polinomio tiene una raíz), el álgebra es realmente fácil. La rica estructura también permite realizar análisis complejos que goza de una serie de propiedades atractivas ausente en el caso real (ver espacios con complejo de coordenadas para algunos notables ejemplos).
Así que, ¿por qué nos molestamos con $\mathbb{R}$ a todos? Bueno, la respuesta obvia es que los números reales están por todas partes en la física y la ingeniería y así sucesivamente. La línea real se adapta a una idea intuitiva de que el mundo en que vivimos de una manera que el complejo no. Tal vez esta es la razón por la mayoría de la geometría diferencial y campos relacionados se centra en espacios con coordenadas reales (aunque las personas que estudian los espacios con complejo de coordenadas ). Matemáticamente, tal vez la ventaja más importante que los números reales tienen sobre los números complejos es que se ordenan. Esto les permite ser útil como una medida de la magnitud que es vital en muchos de su mundo real y aplicaciones matemáticas. De hecho, ellos son los únicos completa ordenó campo, donde completa significa "sin agujeros", a diferencia de los números racionales, y ordenó campo significa que el orden juega muy bien con las operaciones algebraicas (por ejemplo, si $a>b$$a+c > b+c$).
Edit: como Sam criado en su comentario, el de los números complejos fallar el criterio de ser ordenado en un sentido fuerte: no sólo no hay obvias o canónica de la orden, pero un orden que juega muy bien con las operaciones de campo es imposible. Los enlaces de la Wikipedia artículo sobre ordenó campos explica esto, pero es instructivo para trabajar por su cuenta. Trate de encontrar una contradicción asumiendo $i > 0$ o $i<0$ y demostrar de alguna manera que $-1 > 0$.
IBr
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Tenga en cuenta que un mayor número de sistemas son conocidos, por ejemplo, el surrealista números (así como la superreal y el hyperreal números, que son subconjuntos de la primera), que también incluyen los números infinitesimales así como el ordinal transfinito números, así como las variaciones de ellos, por ejemplo,$\omega+1.56$.
¿Por qué casi nunca los uso?
- En álgebra básica, no los usamos desde $\mathbb{C}$ es algebraicamente cerrado, para que no aparezcan como una solución.
- En el cálculo infinitesimal, los números se utilizan a veces, pero no debería ser tratada como un (sur)número real. Así como $\pm \infty$ lo cual no debe ser tratado como el surrealista número $\pm \omega$.
- En la teoría de conjuntos, donde los números ordinales y cardinales se usan con frecuencia, los infinitesimales no se utilizan y cosas como $\omega^4+2.34$ no se utilizan. Por lo tanto, no es útil considerar surrealista números, y que se comportan de manera diferente (ver comentarios).
- En otros campos de las matemáticas, donde me doy cuenta de que, seguramente, no tiene sentido hablar de esto, porque infinitesimal números o transfinito o infinitos números no están en uso.
Yo creo que el superreal y el hyperreal números se utilizan en álgebra abstracta.
