Límite factorial del cálculo de la función gamma

Question

Quiero demostrar que $$\lim_{n\rightarrow\infty}\dfrac{\Gamma\left(n+\frac12\right)}{\sqrt{n}\Gamma(n)}=1$$

Utilizando la fórmula de $\Gamma\left(n+\frac12\right)$ aquí se reduce a $$\lim_{n\rightarrow\infty}\dfrac{(2n)!\sqrt{\pi}}{2^{2n}\sqrt{n}(n-1)!n!}=1$$

¿Cómo demostrarlo?

Answer 1

Véase "Desigualdades para las relaciones de la función gamma", G.J.O. Jameson, Boletín Mensual de Matemáticas de Estados Unidos , Diciembre de 2013, pp 936-940.

Este artículo reciente ofrece pruebas elementales de desigualdades de tipo Gautschi. En particular, se obtiene $$\left({x\over x+1/2}\right)^{1/2}\leq {\Gamma(x+1/2)\over\sqrt{x}\,\Gamma(x)}\leq 1.$$ Ahora dejemos que $x\to\infty$ .

Answer 2

Obsérvese que el recíproco de la expresión bajo el límite es simplemente la función beta de Euler (véase wiki para más detalles): $$ \frac{\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)\Gamma\left(n\right)}{\Gamma\left(n+\frac{1}{2}\right)} = \operatorname{B}\left(n, \frac{1}{2}\right) = \int_0^1 \frac{x^{n-1}}{\sqrt{1-x}} \mathrm{d}x $$ Por lo tanto, el uso de $\Gamma(1/2)=\sqrt{\pi}$ : $$ \lim_{n \to +\infty} \frac{\sqrt{n} \Gamma\left(n\right)}{\Gamma\left(n+\frac{1}{2}\right)} = \lim_{n \to +\infty} \int_0^1 \frac{\sqrt{n}}{\sqrt{\pi}} \frac{x^{n-1}}{\sqrt{1-x}} \mathrm{d}x \stackrel{x=1-t/n}{=} \lim_{n \to +\infty} \int_0^n \frac{1}{\sqrt{\pi}} \frac{\left( 1-\frac{t}{n}\right)^{n-1}}{\sqrt{t}} \mathrm{d}t $$ Utilizando teorema de convergencia dominada : $$ \lim_{n \to +\infty} \int_0^n \frac{1}{\sqrt{\pi}} \frac{\left( 1-\frac{t}{n}\right)^{n-1}}{\sqrt{t}} \mathrm{d}t = \frac{1}{\sqrt{\pi}} \int_0^\infty t^{-1/2} \underbrace{\lim_{n \to \infty} \left(1-\frac{t}{n}\right)^{n-1}}_{\exp(-t)} \mathrm{d}t = \frac{1}{\sqrt{\pi}} \underbrace{\int_0^\infty t^{-1/2} \mathrm{e}^{-t} \mathrm{d}t}_{\Gamma\left(1/2\right)=\sqrt{\pi}} = 1 $$ Desde que establecimos que $$ \lim_{n \to +\infty} \frac{\sqrt{n} \Gamma\left(n\right)}{\Gamma\left(n+\frac{1}{2}\right)} = 1 $$ el límite en cuestión sigue.

Answer 3

¡Estás dando vueltas, ya que has reducido un problema con dos gammas a un problema con tres gammas! En cambio, la forma científica utiliza La expansión de Stirling. Nótese que la segunda derivación (en cierto modo más fácil) se utiliza para la Gamma directamente. (en cualquier caso, utilizar la aproximación de Stirling para el numerador y el denominador, dividir, tomar límites.