Hoy, en clase, mi profesor de álgebra declaró este particular resultado general.
Teorema. Deje $R$ ser un anillo de orden $pq$ donde $p,q$ son dos primos con $p\gt q$$q\not\mid (p-1)$. A continuación, $R$ es un anillo conmutativo.
Mi pregunta es:
- Qué se requiere la condición de $q\not\mid (p-1)$ ?
He aquí una prueba de intento de donde no consideramos la condición anterior:
Prueba.
Desde $(R,+,.)$ es un anillo, sabemos que $(R,+)$ es un grupo abelian.
Ahora, desde la $p,q$ son primos y $(R,+)$ es un grupo, sabemos por Cauchy teorema de que existe dos elementos $a,b\in R$ tal que $|a|=p$$|b|=q$. Ahora, desde la $p\gt q$, sabemos que son distintos de los números primos y por lo tanto,$\gcd(p,q)=1$. Así, tenemos,
$$|a+b|=|a||b|=pq=|R|\implies (R,+)=\langle a+b\rangle$$
Denotar $a+b$$g$. Entonces, desde el $(R,+)$ es cíclica, es decir, tenemos,
$$\forall x,y\in R~\exists m,n\in\Bbb Z\mid x=mg~,~y=ng\\~\\ xy=(mg)(ng)=mn(gg)=nm(gg)=(ng)(mg)=yx$$
el uso de la distribución de las leyes.
Por lo tanto, $(R,+,.)$ es un anillo conmutativo.
Así que, ¿mi prueba de trabajo y la condición adicional no es necesaria? O es que hay algún error en mi pensamiento?
